Случайные величины: законы распределения. Что было: понятие о случайной величине СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется величина, которая в результате испытания. - презентация

1 Случайные величины: законы распределения

2 Что было: понятие о случайной величине СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x F (x) = P (X < x).

3 Что было: функция распределения Интегральная функция распределения P(Xx)=F(x) и ее свойства: 1) 0F(x)1; 2)F(-)=0 ; 3)F(+)=1; 4)для x 2 >x 1 всегда F 2 >F 1 ; P(a

4 Что было: функция распределения Дифференциальная функция вероятности: существует только для непрерывных случайных величин! limx->0 F/x=F'(x)= f(x) - плотность вероятности И наоборот: - х f(x) dx=F(x) Свойства: 1) f(x)0 2) f(x)dx=1 P(a

5 Характеристики функции распределения Дискретная случайная величина Математическое ожидание: М[x] = Дисперсия D[x]= Мода (значение с наибольшей вероятностью) Мо=X i | p(x i )=p max Медиана Непрерывная случайная величина Математическое ожидание: M[X] = Дисперсия D[X] = Мода (значение с наибольшей плотностью вероятности) Мо=x i | f(x i )=max Медиана

6 Знаем: какие бывают случайные величины; что такое интегральная (кумулятивная) функция распределения и распределение плотности вероятности ; вероятность попадания Х на отрезок (а,b); как описать распределение F(x). Не знаем, какие бывают F(x)

7 Законы распределения случайных величин

8 Равномерное распределение 1 Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на (а,b), если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его. Функция P(X

9 Равномерное распределение 2 Дискретная случайная величина имеет равномерное распределение, если ее функция вероятности на всей области определения (a,b) имеет вид P(x)=1/n, где n число исходов M[x]=(a+b)/2 - мат.ожидание D[x]=(n 2 -1)/12 - дисперсия График кумулятивной функции График характеристической функции

10 Характеристическая функция, P(x) Биномиальное распределение Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она имеет значения {0...n}, а вероятность Х=m P(X=m)= Биномиальное распределение описывает вероятность m успехов при n возможных исходов M[X]=n*p - мат. ожидание D[X]=n*p*q - дисперсия, где p - вероятность успеха, q - вероятность неуспеха Кумулятивная функция, F(X

11 Степенной закон распределения Случайная величина имеет степенной закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид: f(x)=Cx -α, при α=[2,3] Свойства: ассиметричное распределение с «тяжелым» хвостом прямая линия на log-log шкале; Вид графика не зависит от масштаба (scale invariance) Принцип Парето: 80/20 M.E.J. Newman. Power laws, Pareto distribution and Zipf's law/ arXiv:cond-mat/

12 Нормальное распределение Центральная предельная теорема в применении к Ψ: Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения

13 Гауссиана график нормального распределения Интегральная функция распределения Закон нормального распределения Где: β среднеквадратичное отклонение (σ); α среднее (М); e, π - константы Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами α и β, если ее плотность вероятности имеет вид:

14 Правило 3 сигм При нормальном распределении: M(+/-)σ=68,26% M(+/-)2σ=95,44% M(+/-)3σ=99,72%, M(+/-)3σ - интервал всех возможных значений Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок(с,d) Табличная функция Лапласа

15 Свойства нормального распределения Правило 3 сигм (99,72% значений лежат в рамках M+/-3σ) Распределение симметрично (А=0), эксцесс, т.е. мера остроты пика или Е = 0 Мода, медиана и среднее совпадают Значения, лежащие на равном расстоянии от M (среднего), будут иметь равную частоту в репрезентативной выборке

16 Проверка распределения на «нормальность» Графический способ; Статистический критерий Колмогорова- Смирнова (N>50 человек) ; W-критерий Шапиро-Уилка (N > 8 человек); Критерий ассиметрии и эксцесса См. ГОСТ Р ИСО

17 Критерий асимметрии и эксцесса 1. Определить среднее арифметическое (М) и стандартное отклонение (σ). 2. Рассчитать показатели асимметрии и эксцесса. А= Е= Рассчитать критические значения А и Е А Е 4. Если А

18 Закон нормального распределения: следствия Знаем, какой процент испытуемых наберет определенные баллы по тесту; Стандартизируем на этой основе баллы по тесту; Оцениваем параметры генеральной совокупности по выборочным данным; Рассчитываем статистическую значимость наших выводов; И задействуем его во всей индуктивной статистике в той или иной степени...