Непрерывные случайные величины Лекция 15. План лекции Непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функции распределения и плотности распределения. - презентация

1 Непрерывные случайные величины Лекция 15

2 План лекции Непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функции распределения и плотности распределения вероятностей, их свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения.

3 Непрерывные случайные величины Примеры: - артериальное давление пациента; - масса тела пациента; - скорость биохимической реакции в клетке. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток

4 Основные характеристики непрерывных случайных величин Плотностью распределения вероятностей называется отношение вероятности Р(a

5 Функция плотности распределения вероятностей – это зависимость плотности распределения от значений величины x. Функция плотности распределения вероятностей

6 Пример: Функция плотности распределения вероятностей частоты пульса у студентов 1 курса КрасГМУ Непрерывное распределение условие нормировки

7 Функция F(х) распределения вероятностей (или накопленной вероятности) равна вероятности того, что случайная величина Х меньше наперед заданного числа x. F(x) = P(Х

8 Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Задача: вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от a до b Выразим вероятность этого события через функцию распределения F(X): Событие А: X < b; Событие В: X < a Событие С: a X < b A = B + C

9 Вероятность попадания случайной величины на заданный участок-2 По теореме сложения вероятностей получим: Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке

10 Плотность распределения случайной величины Вероятность попадания случайной величины на участок от х до х+ х f(x) – плотность функции распределения - производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяется значение случайной величины в данной точке

11 Графический вид функции распределения

12 Связь между f(x) и F(x) F(x)=Р(a

13 Задача

14 Графический вид функций Функция распределения Функция плотности распределения

15 Примеры: Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины: Найти: а)значение с, б)функцию плотности распределения вероятностей f(Х), в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0;1). Построить графики функций F(Х) и f(Х).

16 Решение: Константу С находим из условия :

17 Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0;1)

18 Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение

19

20 Свойства математического ожидания Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной: М(С)=С Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х) Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий: M(X Y)=M(X) M(Y) Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y)

21 Свойства дисперсии случайной величины Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии возводя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X) Дисперсия двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y) Дисперсия разности двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X-Y)=D(X)+D(Y)

22 Примеры: Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известно, что M(X)=4, M(Y)=2. M(Z)=8 Найти дисперсию случайной величины D(2X), если D(X)=10. D(2X)=2 2 10=40 Найти дисперсию случайной величины D(X-Y), D(2X+3), если D(X)=5, D(Y)=3. D(X-Y)=5+3=8, D(2X+Y)= =20

23 Типы функций распределения Дискретные функции распределения: - Биномиальное распределение - Распределение Пуассона Непрерывные функции распределения: - равномерное распределение - нормальное (гауссово) распределение - распределение Парето

24 Равномерное распределение Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне отрезка [a,b] равна 0:

25 Равномерное распределение f(x) X ab C

26 Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины: Найти: а) значения с и d, б) функцию плотности распределения вероятностей f(Х), с) числовые характеристики случайной величины Х (использовать формулы равномерного распределения). Решение:

27 Находим c из условия нормировки: 4c–2c=1, c=1/2. Находим d из условия: при х=4 равно 1, d=-1.

28 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.