Переход от дискретной формулы к непрерывной: сумму заменяют интегралом; значения x i, i = 1, …, n заменяют переменной x R; P(X = x i ) заменяют f(x)dx. - презентация

1 Переход от дискретной формулы к непрерывной: сумму заменяют интегралом; значения x i, i = 1, …, n заменяют переменной x R; P(X = x i ) заменяют f(x)dx P(x). Среднее значение непрерывной случайной величины Определение 7.1 Средним значением непрерывной сл.в. X с плотностью распределения f(x) называют число § 7. Числовые характеристики случайных величин. Замечание: для дискретной сл.в. X среднее значение это число где x i - значения X и p i = P( X = x i ) их вероятности. x+ x x f(x) f(x+ x) S = P(X) f(x)dx

2 Свойства среднего значения: действуют все свойства, верные для дискретного случая Доказательство: докажем свойство 2, которое говорит, что константа выносится вперед из под знака среднего значения. Другие свойства доказываются аналогично дискретному случаю.

3 Для любого типа сл.в. X дисперсией называют число DX = E(X EX) 2. b) По свойству DX = EX 2 - (EX) 2 : a) По определению: Дисперсия непрерывной случайной величины Формулы вычисления дисперсии в непрерывном случае: Эту формулу применяем на практике для вычисления дисперсии как более простую.

4 Доказательство: свойства были доказаны в параграфе 5 исходя из общей формулы дисперсии DX = E(X EX) 2 и верны для случайных величин любого типа. Число называют стандартным отклонением сл.в Х любого типа.

5 Определение 7.2 отклонением сл.в. Х или центрированной случайной величиной называют сл.в. X – EX, среднее значение которой равно нулю. Доказательство : вычислим среднее значение центрированной сл.в., применяя свойства среднего значения:

6 Определение 7.3 Стандартной или стандартизированной случайной величиной называют сл.в. среднее значение которой равно нулю и дисперсия равна 1. Доказательство : вычислим среднее значение стандартизированной сл.в., учитывая, что она является также центрированной сл. величиной : Вычислим дисперсию стандартизированной сл.в., применяя свойства дисперсии:

7 Пример. Равномерное распределение на отрезке [a, b]. Если X ~ U(a, b), то Решение: плотность равномерного распределения определяется формулой Вычислим среднее значение, учитывая только ненулевые значения f: Вычислим дисперсию DX = EX 2 - (EX) 2. Найдем прежде всего EX 2 : Тогда:

8 Определение 7.4 p-квантилем непрерывной сл.в. X называют число x p, для которого верно равенство F(x p ) = P(X x p ) = p, 0 p 1. xpxp F(x p ) На графике функции распределения: xpxp На графике функции плотности:

9 Если p = 0.5, то значение x 0.5 называют медианой. Обозначаем: MeX. Определение 7.5 Медианой MeX называют значение непрерывной сл.в. X, для которого P(X MeX) = P(X MeX) = 0.5 или F(MeX) = 0.5. Т.о. равновероятно то, что сл. величина принимает значения меньше или больше медианы. MeX F(MeX) MeX На графике функции распределения:На графике функции плотности:

10 В общем случае MeX EX. Но если плотность симметрична относительно точки a, то EX = MeX = a. Симметричное распределение определяется равенством: f (EX - x) = f (EX + x). EX=MeX EX + xEX - x f(EX + x) f(EX - x)

11 Для любого (дискретного) распределения MeX - величина, для которой P(X MeX) 0.5, P(X MeX) 0.5. Величину x 0.25 называют нижним квартилем и величину x 0.75 – верхним квартилем, т.о. P(X x 0.25 ) = 0.25 ja P(X x 0.75 ) = x 0,25

12 Определение 7.6 модой MoX сл.в. X называют такое значение Х, для которого Для симметеичного одномодального распределения: EX = MeX = MoX EX = MoX = MeX. Для дискретного распределения: MoX = 2 – наиболее вероятное значение.

13 Определение 7.7 моментом m – го порядка сл.в. X называют среднее значение сл.в. X m или M m X = EX m и центральным моментом m – го порядка называют среднее значение сл.в. (X - EX) m или Свойства моментов: 1. M 1 X = EX. 2. M 2 X = EX DX = EX 2 – (EX) 2 = M 2 X – ( M 1 X) M 2 X = E(X - EX) 2 = DX.

14 Пример. Функция распределения сл.в. X Начертить график F(x) и найти вероятности: P(X 1), P(X 1), P(X 0), P(X 0), P(2 X 3), P(1 X 3), P(1 < X 3), P(1< X 2). Найти f(x), EX, DX, MeX, MoX.

15 Сл. величина смешанного типа. X = 1 – точка разрыва. P(X < 1) = F(1) = ½, P(X = 1) = F(1+) – F(1) = ¾ - ½ = ¼, P(X 1) = P(X < 1) + P(X = 1) = F(1) + ¼ = ½ + ¼ = ¾, P(X > 1) = 1 - P(X 1) = 1 – ¾ = ¼, P(X 1) = 1 - P(X < 1) = 1 – ¼ = ¾, P(X 0) = F(0) = 1/8, P(X 0) = 1 – P(X < 0) = 1 – F(0) = 1 - 1/8 = 7/8, P(2 X 3) = F(3) – F(2) = 3/8 + ½ - ¾ = 1/8, P(1 X 3) = P(X = 1) + P(1 < X 3) = ½ + F(3) – F(1+) = ½ + 3/8 + ½ - ¾ = 5/8, P(1 < X 3) = F(3) – F(1+) = 3/8 + ½ - ¾ = 1/8, P(1< X 2) = F(2) – F(1+) = ¾ - ¾ = 0.

16 Сл. величина смешанного типа. Найдем f(x): P(X=1)=1/4 Функция плотности не непрерывна. MeX = 1, т.к. F(1) = ½ с одной стороны и P(X 1) 0.5 и P(X 1) 0.5. MoX = 1 – точка максимума функции плотности.

17 P(X=1)=1/4 Функция плотности: Найдем EX: Тогда: Вычислим дисперсию DX = EX 2 - (EX) 2. Найдем прежде всего EX 2 :

18 Задача 1. Сл.в. X – сумма очков, выпавшая на двух игральных костях. Найти: График распределения : a) таблицу распределения X; b) функцию распределения F(x); c) P(X 4); d) P(2 X 5); e) EX; f) E(2X); g) M 2 X; h) DX; i) D(2X+1); j) X ; k) MoX; a) MeX.

19 Задача 2. Пусть задана функция распределения или функция плотности сл.в. X. Найти: a) график функции распределения; b) график функции плотности; c) P(X 4); d) P(2 X 5); e) EX; f) E(2X); g) M 2 X; h) DX; i) D(2X+1); j) X ; k) MoX; l) MeX.