Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон. - презентация

1 Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Доказательство: Обозначим АВ = с, ВС = а, АС = b. Из вершины А опустим перпендикуляр АD. Тогда АD = b sin C, CD = b cos C, BD = a – b cos C. По теореме Пифагора имеем c 2 = (a – b cos C) 2 + (b sin C) 2 = a 2 – 2ab cos C + b 2 cos 2 C + b 2 sin 2 C = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Самостоятельно рассмотрите случаи прямого и тупого угла С.

2 Упражнение 1 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 30 о. Найдите AB. Ответ:.

3 Упражнение 2 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 30 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

4 Упражнение 3 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 45 о. Найдите AB. Ответ:.

5 Упражнение 4 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 45 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

6 Упражнение 5 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 150 о. Найдите AB. Ответ:.

7 Упражнение 6 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 150 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

8 Упражнение 7 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 135 о. Найдите AB. Ответ:.

9 Упражнение 8 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 135 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

10 Упражнение 9 Даны три стороны треугольника a = 2, b = 3, c = 4. Найдите косинусы его углов A, B, C. Ответ: cos A =, cos B =, cos C =.

11 Упражнение 10 Ответ: В треугольнике АВС АВ = 12 см, АС = 8 см, угол A равен 60 о. Найдите третью сторону.

12 Упражнение 11 Ответ: а) 14 см; Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 120 о, если прилежащие к нему стороны равны: а) 6 см и 10 см; б) 14 мм и 16 мм. б) 26 мм.

13 Упражнение 12 Ответ: а) острый; При каких значениях угла А квадрат стороны треугольника, лежащей против этого угла: а) меньше суммы квадратов двух других сторон; б) равен сумме квадратов двух других сторон; в) больше суммы квадратов двух других сторон? б) прямой;в) тупой.

14 Упражнение 13 Ответ: а) Тупоугольный; Не вычисляя углы треугольника, укажите его вид (относительно углов), если стороны треугольника равны: а) 7, 8, 12; б) 0,3, 0,4, 0,5; в) 13, 14, 15. б) прямоугольный; в) остроугольный.

15 Упражнение 14 Ответ: а) На стороне треугольника; Как расположен центр описанной окружности относительно треугольника, стороны которого равны: а) 6, 8, 10; б) 4, 5, 6; в) 3, 4, 6? б) внутри треугольника; в) вне треугольника.

16 Упражнение 15 Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними. Найдите стороны параллелограмма. Ответ:

17 Упражнение 16 Даны стороны параллелограмма а и b и один из его углов. Найдите диагонали параллелограмма. Ответ:

18 Упражнение 17 Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Доказательство. По теореме косинусов имеем Складывая эти равенства и учитывая, что косинус угла ADC равен минус косинус угла BAD, получим требуемое утверждение.

19 Упражнение 18 Стороны параллелограмма равны 30 мм и 35 мм, одна диагональ 55 мм. Найдите другую диагональ. Ответ: 35 мм.

20 Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что для медианы m c, проведенной из вершины C, имеет место формула Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Складывая эти равенства, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 19

21 Стороны треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне. Упражнение 20 Ответ. 9,5.

22 В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4. Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3. Упражнение 21 Ответ.

23 Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для биссектрисы l c, проведенной из вершины C, имеет место формула где c, c – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Умножим первое равенство на a, второе на b и вычтем из первого равенства второе. Делая тождественные преобразования, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 22

24 В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5. Найдите биссектрису CD. Упражнение 23 Ответ:

25 В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 5, Найдите биссектрису AD. Упражнение 24 Ответ: 6.

26 В треугольнике ABC AC = 12, BC = 15, AB = 18, Найдите биссектрису СD. Упражнение 25 Ответ: 10.

27 В треугольнике ABC AC = BC, AD – биссектриса, AB = CD = 1. Найдите AC. Упражнение 26 Ответ:

28 Упражнение 27 Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см? Более точная формулировка: существует ли четырехугольник со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, около которого можно описать окружность? Решение. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность в случае, если По теореме косинусов Откуда Следовательно, такой четырехугольник существует.