Теорема синусов Теорема. (Теорема синусов.) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем отношение стороны треугольника к. - презентация

1 Теорема синусов Теорема. (Теорема синусов.) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности, Доказательство. Опишем около треугольника ABC окружность с центром O и радиусом R. В треугольнике ABD, сторона AD которого проходит через O, углы C и D опираются на одну и ту же дугу и, следовательно, равны. ABD = 90 о. Таким образом, Аналогично имеют место и другие требуемые равенства.

2 Упражнение 1 Ответ: Угол B равен 45 о или 135 о. В треугольнике даны две стороны а = 3, b =, противолежащий стороне а угол А равен 30 о. Найдите угол B, лежащий против стороны b.

3 Упражнение 2 Ответ: 2 : 3 : 4. Стороны треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите отношения синусов углов этого треугольника.

4 Упражнение 3 Ответ: 3 : 4 : 5, прямоугольный. Синусы углов треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите отношение сторон этого треугольника. Какой это треугольник?

5 Упражнение 4 Найдите отношения сторон АС : ВС и АВ : ВС в треугольнике АВС, в котором: а) A = 120 о, B = 30 о ; б) A = 90 о, B = 30 о. Ответ: а) : 3, : 3;б) 1 : 2 и : 2.

6 Упражнение 5 Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите отношение сторон. Ответ: 1 : : 2.

7 Упражнение 6 В треугольнике АВС АВ = 6 см, A = 45 о, С = 120 о. Найдите сторону BC. Ответ: см.

8 Упражнение 7 В треугольнике ABC сторона AB равна 4 см, угол C равен 150 о. Найдите радиус описанной окружности. Решение. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда угол AOB равен 60 о. Следовательно, треугольник AOB – равносторонний. Радиус описанной окружности равен 4. Ответ. 4.

9 Упражнение 8 Сторона AB треугольника ABC равна 10 см. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен: а) 30 о ; б) 45 о ; в) 60 о ; г) 90 о ; д) 150 о. Ответ: а) 10 см; г) 5 см;д) 10 см. б) см; в) см;

10 Упражнение 9 Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3 см. Найдите сторону AB этого треугольника, если противолежащий ей угол C равен: а) 30 о ; б) 45 о ; в) 60 о ; г) 90 о ; д) 150 о ? Ответ: а) 3 см;г) 6 см; д) 3 см. б) ;в) см;

11 Упражнение 10 Стороны треугольника равны 5, 5, 8. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение. Пусть в треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8. Тогда высота CD равна 3, sin A = 0,6. Для радиуса R описанной окружности имеем: Ответ.

12 Упражнение 11 Две стороны треугольника равны 5 и 6. Высота, опущенная на его третью сторону, равна 4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение. Пусть в треугольнике ABC AC = 5, BC = 6, высота CD равна 4. Тогда sin A = 0,8. Для радиуса R описанной окружности имеем: Ответ.

13 Упражнение 12 Две стороны треугольника равны 4 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту, опущенную на третью сторону этого треугольника. Решение. Пусть в треугольнике ABC AC = 4, BC = 6, радиус R описанной окружности равен 5. Тогда sin A = 0,6 и высота CD равна 2,4. Ответ. 2,4.

14 Упражнение 13 Спортивный самолет летит по замкнутому треугольному маршруту с постоянной скоростью. Два угла этого треугольника равны по 30 о. Большую сторону он пролетел за 1 ч. За сколько времени он пролетит весь маршрут? Ответ: 2 ч 5 мин.

15 Упражнение 14 Используя рисунок, укажите способ нахождения расстояния d от точки A до недоступного объекта C. Ответ:

16 Упражнение 15 Используя рисунок, укажите способ нахождения высоты BC недоступного объекта. Ответ:

17 Упражнение 16 Используя рисунок, укажите способ нахождения глубины h оврага. Ответ:

18 Упражнение 17 Используя рисунок, укажите способ нахождения расстояния d между двумя недоступными объектами C и D. Ответ:

19 Упражнение 18 Используя рисунок, укажите способ нахождения угла, под которым видна башня CD из недоступного пункта B. Ответ:

20 Упражнение 19 Используя рисунок, укажите способ нахождения угла, под которым видна башня BD из вершины C башни AC. Ответ:

21 Упражнение 20 Используя рисунок, укажите способ нахождения угла, под которым виден участок дороги BD из недоступного пункта C. Ответ: Искомый угол теперь находится с помощью теоремы синусов, или теоремы косинусов.