Углы, связанные с окружностью Угол с вершиной в центре окружности называется центральным. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают. - презентация

1 Углы, связанные с окружностью Угол с вершиной в центре окружности называется центральным. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Каждый центральный угол данной окружности определяют дугу окружности, которая состоит из точек окружности, принадлежащих этому углу.

2 Теорема о вписанном угле Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Доказательство. Пусть угол АВС вписан в окружность с центром в точке О. Рассмотрим случай, когда одна из сторон угла, например АВ, проходит через центр О окружности. Треугольник ВОС - равнобедренный, следовательно, углы B и C равны. Угол АОС – внешний угол треугольника ВОС, следовательно, он равен сумме углов В и С. Поэтому угол ABC равен половине угла AOC. В случае, если центр О окружности лежит внутри угла АВС, проведем диаметр ВD и рассмотрим углы АВD и DBC. По доказанному Следовательно, Самостоятельно рассмотрите случай, когда центр О лежит вне угла АВС.

3 Следствие Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

4 Вопрос 1 Какой угол называется центральным? Ответ: Центральным называется угол с вершиной в центре окружности.

5 Вопрос 2 Какой угол называется вписанным? Ответ: Вписанным называется угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность.

6 Вопрос 3 Что называется дугой окружности? Ответ: Дугой окружности называется часть окружности, состоящая из точек окружности, принадлежащих некоторому центральному углу.

7 Вопрос 4 Как связаны между собой вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу? Ответ: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

8 Вопрос 5 Чем измеряются дуги окружности? Ответ: Дуги окружности измеряются соответствующими центральными углами.

9 Упражнение 1 Какие из углов на рисунке являются вписанными? Ответ: CAD, CAE, DAE, FBD, ADB.

10 Упражнение 2 Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ: 90 о.

11 Упражнение 3 Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ: 30 о.

12 Упражнение 4 Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ: 150 о.

13 Упражнение 5 Центральный угол на 35 больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите каждый из этих углов. Ответ: 70 о и 35 о.

14 Упражнение 6 В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Вписанный угол ACB равен 38 о. Найдите центральный угол AOD. Ответ: 104 о.

15 Упражнение 7 В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 110 о. Найдите вписанный угол ACB. Ответ: 35 о.

16 Упражнение 8 Ответ: 36 о. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности.

17 Упражнение 9 Ответ: 40 о. Дуги AC и BC окружности составляют соответственно 200 о и 80 о. Найдите вписанный угол ACB.

18 Упражнение 10 Ответ: 45 о. Найдите величину угла ACB.

19 Упражнение 11 Ответ: 135 о. Найдите величину угла ACB.

20 Упражнение 12 Ответ: 22,5 о. Найдите величину угла ACB.

21 Упражнение 13 Ответ: 67,5 о. Найдите величину угла ACB.

22 Упражнение 14 Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под какими углами видна эта хорда из точек C меньшей дуги окружности? Ответ: 105 о.

23 Упражнение 15 Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, а дуга AB окружности, заключенная внутри этого угла, равна 64 о. Ответ: 26 о.

24 Упражнение 16 Угол ACO равен 28 о. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ: 52 о.

25 Упражнение 17 Найдите угол ACD, если его сторона CA касается окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116 о. Ответ: 26 о.

26 Упражнение 18 Угол ACD равен 24 о. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ: 114 о.