Логарифмические уравнения - презентация

1 МОУ «Старо - Матаковская средняя общеобразовательная школа» Алькеевского муниципального района РТ. Конспекты системы уроков по теме : Учительницы математики II квалификационной категории Советниковой Нины Николаевны г.

2 Для чего были придуманы логарифмы? Для ускорение вычислений. Для упрощений вычислений. Для решение астрономических задач. В современной школе основной формой обучения математике,главным связующем звеном в интеграции различных организационных форм обучения по-прежнему остается урок. В процессе обучения математический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач, потому на уроках математики теория не изучается в отрыве от практики. Для того чтобы успешно решать логарифмические уравнения, на которые в учебном плане отведено всего 3 часа, необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции. Тема « Логарифмические уравнения» в учебном плане идет за логарифмическими функциями и свойствами логарифмов. Ситуация несколько осложняется по сравнению с показательными уравнениями наличием ограничений на область определения логарифмических функций. Использования формул логарифма произведения, частного и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потери корней. Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований.

3 Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь» Тема: « Логарифмические уравнения.» Цели: Образовательные: 1.Ознакомить и закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появления типичных ошибок. 2.Предоставить каждому обучающему возможность проверить свои знания и повысить их уровень. 3.Активизировать работу класса через разные формы работы. Развивающие: 1.Развивать навыки самоконтроля. Воспитательные: 1.Воспитывать ответственное отношение к труду. 2.Воспитывать волю и настойчивость, для достижение конечных результатов.

4 Урок 1. Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений» Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом Оборудование : Мультимедиа. Ход урока. 1Организационный момент: 2.Актуализация опорных знаний; Упростите:

5 Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log a х = б (а > 0, а 1, б>0 ) Способы решения 1. Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение log a х = б (а > 0, а 1, б>0 ) имеет решение х = а b. 2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если, log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а Метод введение новой переменной. 4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. 5. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. 6. Функционально – графический метод.

6 1метод: На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание. Log 2 42= х, log 33 х = - 2, log х 64= 3, 2 х = 42, х =33 – 2, х 3 =64, 2 х = 2 5/2, х =3 - 3, х 3 = 4 3, х =5/2. х = 1/27. х =4.

7 2метод: Решите уравнения: lg(х 2 -6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. Условие для проверки всегда составляем по исходному уравнению. (х 2 -6х+9) >0, х 3, Х-7 >0; х >7; х >7. С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду log ((х-3)/(х-7)) 2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. ((х-3)/(х-7)) 2 = 9, (х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3, х- 3 = 3х -21, х -3 =- 3х +21, х =9. х=6. посторонний корень. Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9

8 3 метод: Решите уравнения: log 6 2 х + log 6 х +14 = (16 – х 2 ) 2 +х 2, 16 – х 2 0 ; - 4 х 4; х >0, х >0, О.Д.З. [ 0,4). log 6 2 х + log 6 х +14 = 16 – х 2 +х 2, log 6 2 х + log 6 х -2 = 0 заменим log 6 х = t t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -2. log 6 х = 1, х = 6 посторонний корень. log 6 х = -2, х = 1/36, проверка показывает 1/36 является корнем. Ответ : 1/36.

9 4метод: Решите уравнения = ЗХ, возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3 Вопрос : 1.Это – равносильное преобразования ? 2.Если да то почему ? Получим log 3 = log 3 (3х). Учитывая теорему 3, получаем : log 3 х 2 log 3 х = log 3 3х, 2log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х, 2 log 3 2 х = log 3 х +1, 2 log 3 2 х - log 3 х -1=0, заменим log 3 х = t, х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -1/2 log 3 х = 1, х=3, log 3 х = -1/ 2, х= 1/3. Ответ: {3 ; 1/3. }.

10 5 метод : Решить уравнения: log 9 ( 37-12х ) log 7-2х 3 = 1, 37-12х >0, х< 37/12, 7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2х 1; х 3; х 3; log 9 ( 37-12х ) / log 3 (7-2х ) = 1, ½ log 3 ( 37-12х ) = log 3 (7-2х ), log 3 ( 37-12х ) = log 3 (7-2х ) 2, 37-12х= х +4х 2, 4х 2 -16х +12 =0, х 2 -4х +3 =0, Д=19, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень. Проверкой убеждаемся, что х=1 корень уравнения.

11 6 метод Решите уравнения: log 3 х = 12-х. Так как функция у= log 3 х возрастающая, а функция у =12-х убывающая на (0; + ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

12 Итог урока. С какими методами решения логарифмических уравнений мы познакомились на уроке? Домашние задание: Определите метод решения и решите 1547(а,б),1549(а,б), 1554(а,б). Проработать весь теоретический материал и разобрать примеры §52.

13 2 урок. Тема урока: «Применение различных методов при решение логарифмических уравнений.» Тип урока: Урок закрепления изученного Ход урока. 1.Организационный момент: 2.«Проверь себя» 1)log -3 ((х-1)/5)=? 2) log 5 (121 – x 2 ), (121 – x 2 ) 0, x < – 11, x 11. 3) 3 2х =5, log 5 3=2х, х = (log 5 3)/2. 2log 3 5 4log 3 5 4) 9 =3 = 4 5 5) lg x 2 = 2lg x.

14 3.Выполнение упражнений: 1563 (б ) Каким способом можно решить данное уравнение ? (метод введение новой переменной ) log 3 2 х +3 log 3 х +9 = 37/ log 3 (х/27); х>0 Обозначим log 3 х = t ; t 2 -3 t +9 =37/(t-3) ; t 3, (t-3) ( t 2 -3 t +9) = 37, t = 37; t 3 = 64 ; t=4. log 3 х = 4 ; х= 81. Проверкой убеждаемся, что х=81 корень уравнения.

15 1564 (а);(метод логарифмирования ) log 3 х Х = 81, возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3; log 3 х log 3 Х = log 3 81; log 3 х log 3 х = log 3 81; log 3 2 х =4; log 3 х =2, х=9 ; log 3 х = -2, х=1/9. Проверкой убеждаемся, что х=9 и х=1/9 корни уравнения.

16 4.Физкультминутка(за партами, сидя ). 1 Областью определения логарифмической функции у= log 3 Х является множество положительных чисел. 2Функция у= log 3 Х монотонно возрастает. 3.Область значений логарифмической функции от 0 до бесконечности. 4 log а с/в = log а с - log а в. 5 Верно,что log =1.

17 1704.( а) 1-х =In х Так как функция у= In х возрастающая, а функция у =1-х убывающая на (0; + ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=1 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ : х=1.

18 1574(б) log 3 (х+2у) -2log 3 4 =1- log 3 (х – 2у), log 3 (х 2 - 4у 2 ) = log 3 48, log 1/4 (х -2у) = -1; log 1/4 (х -2у) = -1; х 2 - 4у 2 – 48 =0, х =4 +2у, х =8, х -2у = 4; 16у = 32; у =2. Проверкой убеждаемся, что найденное значения является решениями системы.

19 5. Что за прелесть Логарифмическая комедия 2 > 3 1/4 > 1/8, бесспорно правильно. (1/2) 2 > (1/2) 3, тоже не внушающее сомнение. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, lg(1/2) 2 > lg(1/2) 3 ; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем 2 > 3. - Где ошибка?

20 6.Выполните тест: 1Найдите областью определения: у = log 0,3 (6х –х 2 ). 1(- ;0) Ư (6 ; + ); 2. (- ; -6) Ư (0 ; + ); 3.(-6; 0 ). 4.(0; 6 ). 2.Найдите область значений : у =2,5 + log 1,7 х. 1(2,5 ; + ); 2. (- ; 2,5); 3 (- ; + ); 4. (0 ; + ). 3.Сравните : log 0,5 7 и log 0, >. 2.

21 Ответ: 4; 3;2;1;2. Итог урока: Чтобы хорошо решать логарифмические уравнения, нужно совершенствовать навыки решения практических заданий,так как они являются основным содержанием экзамена и жизни. Домашние задания : 1563(а,б), 1464(б,в), 1567 (б).

22 Урок 3. Тема урока: «Решение логарифмических уравнений » Тип урока: урок обобщения, систематизация знаний. Ход урока. 1.Актуализация опорных знаний: 1 Какие из чисел -1; 0; 1; 2; 4; 8 являются корнями уравнения log 2 х=х-2? 2 Решить уравнения: а) log 16 х= 2; в) log 2 (2х- х 2 ) -=0; г) log 3 (х-1)=log 3 (2х+1) 3 Решить неравенства: а) log 3 х> log 3 5; б) log 0,4 х< 1; в) log 2 (х-4) >0. 4 Найдите область определения функции: у = log 2 (х+4) 5 Сравните числа: log 3 6/5 и log 3 5/6; log 0,2 5 и. Log 0, Определить число корней уравнения: log 3 Х= =-2х+4.

23 2. Решение уравнений: 1. решите уравнения: log 5 2 (х-3) 2 +3 log 5 (15 -5х ) -10 = 0. ОДЗ: 15 -5х>0, х

24 Решите уравнения: 3log 4 (2+ 30/(2х-11)) = 2log 4 (2 – 15/(х+2)) /(2х-11)= (4х-22+30)/(2х-11)=(4х+8)/(2х-11)=4(х+2)/(2х-11) 2 – 15/(х+2)=(2х+4-15)/(2+х)=(2х-11)/(х+2)=((х+2)/(2х-11)) -1, 3 log 4 (4(х+2)/(2х-11)) = 2log 4 ( (х+2)/(2х-11)) -1 +8, 3+3 log 4 ((х+2)/(2х-11)) = - 2log 4 ( (х+2)/(2х-11))+8, Пусть log 4 ((х+2)/(2х-11)) = t, 3+3t = -2 t +8, t = 1. log 4 ((х+2)/(2х-11)) =1, (х+2)/(2х-11) =4, х+2=8х-44, х=46/7. Проверкой убеждаемся, что х=46/7 корень уравнения.

25 3.Физкультминутка: 1. 3 log 3 8 = lg х= - 2, решением данного уравнения является Функция у= log 4/3 Х монотонно возрастает. 4. log а (х+у) = log а х + log а у. 5. log а (х+у) == log а х - log а у. 6. log а (ху) = log а х + log а у.

26 4.Учимся на чужих ошибках : Воспользуемся формулой преобразования суммы логарифмов логарифм произведения. Получим уравнения log 3 (х – 1) (х -3 ) = 1, отсюда следует х 2 – 4х + 3 =3. Корнями последнего уравнения являются х 1 =0 и х 2 = 4, Ответ : {0, 4}. Решите уравнения: log 3 (х – 1) + log 3 (х -3 ) = 1.

27 Решите уравнения log 2 (х +1) - log 2 (х -2 ) = 2. Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log 2 (х +1) /(х- 2) = 2, откуда следует (х +1) /(х- 2) = 2. Решив последнее уравнения,находим х = 5. Ответ: х = 5.

28 . 5.Программированный контроль Решить уравнен ЗаданиеОтвет ы Вариант 1 l Вариант 2Вариант g(3х-8)= lg(х - 2) log 3 (5-2х) = 1Log 2 (4х -5) = log 2 (х -14) -313Кор.н ет. Lg 2 х+ lgх=8log 3 2 х +3 log 3 х +9 = 37/ log 3 Lg 2 х - 6lgх+5 = 0 Кор.н ет. 100; 0, ; 10 25; 0,2 Log 2 (х-2) + log 2 (х +1) = 2 Log 2 (х+14) + log 2 (х +2) = 6 Log 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 2;

29 Ответ : 1вариант (3;2;4.) 2.вариант – (2;4;3.) 3.вариант – (4;3;2.) Итог урока: Пренебрегать теорией нельзя,в этом мы с вами убедились на уроке : Без знания теоретического материала невозможно уверенно решать практические задания. Определенная часть вопросов направлена на проверку именно теоретических знаний, используемых правил, определений и теорем. Домашние задания : 1568 (а.б), 1562 (а,б) 1573 (г).