«Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета». - презентация

1 «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

2 Квадратные уравнения Произвольные произвольные квадратные уравнения приведенные квадратные уравнения полные неполные Формула корней квадратного уравнения D =? Х =?

3 Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения. Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным. Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице. Пример: Всякое квадратное уравнение может быть приведено к указанному виду. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на

4 Вывод формулы корней приведенного квадратного уравнения

5 Реши уравнения УравнениеКорни уравнения Сумма корней Произведение корней 1.х 2 + х –12 = 0 2.х х – 45 = 0 3.у 2 + 8у +15 = у 2 - 5у +6 = 0 5.z 2 -10z +21 = z 2 - 3z -10 = 0 3 и –4 15 и и –5 3 и 7 2 и 3 5 и Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.

6 Как связаны между собой корни квадратного трёхчленаи его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета. Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

7 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену Теорема Виета: х 2 + рх + q= 0, х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q. Докажите теорему самостоятельно по следующему плану: 1. Запишите приведенное квадратное уравнение. 2. Запишите формулы его корней. 3. Найдите сумму и произведение его корней. 4. Сделайте вывод.

8 Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

9 Если числа и таковы,… …что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх+ q = 0 Справедливо ли это утверждение? Сформулируем утверждение, обратное теореме Виета.

10 Пример: Найти корни уравнения х 2 - 5х + 6 = 0 Решение: p = -5; q = 6. x 1 + x 2 = 5, x 1 x 2 = 6; Значит, числа х 1 и х 2 положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3, значит, х 1 = 2, х 2 = 3 – корни уравнения. Ответ: 2; 3.

11 Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 ? По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе b, в знаменателе а. Запиши символами то, что сказано словами.

12 Для чего нужна теорема Виета? 1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения. 2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение. практическое значение 3. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его. 4. Зная один из корней, найти другой. 5. Определить знаки корней уравнения.

13 Для чего нужна теорема Виета? Практическое значение: зная корни квадратного уравнения, запишем само уравнение Пример: т = 6, n = -2 ; х 2 + р х + q = 0. т + n = 6 +(-2)= 4, р = -4; т n = 6 (-2)= -12, q = -12. х 2 – 4 х –12 = 0

14 Запишите квадратное уравнение, корни которого равны: а) 3 и 4 ; б) - 2 и 5 ; в) 0,4 и 1,5 х 2 – 7х + 12 = 0 х 2 – 3х – 10 = 0 х 2 – 1,9х + 0,6 = 0 Проверь себя!

15 Подведение итогов Ответьте на вопросы: 1. Какие уравнения называются приведенными? 2. Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным? 3. Сформулируйте теорему Виета. 4. Зачем нужна теорема Виета? 5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

16 Подведение итогов Ответьте на вопросы: 6. Чему равна сумма и произведение корней уравнения: