Биномиальное распределение Обозначение : Область значений :, где m – целое Параметры : n – целое положительное число ( испытаний ), – параметр схемы Бернулли. - презентация

1 Биномиальное распределение Обозначение : Область значений :, где m – целое Параметры : n – целое положительное число ( испытаний ), – параметр схемы Бернулли ( вероятность " успеха "). Помните ? величину 1-p принято обозначать буквой q. Плотность ( функция вероятности ): Плотность дискретна :. Здесь – число сочетаний из n элементов по m, причем Математическое ожидание : np Дисперсия : npq Функция распределения

2 Описание Говорят, что случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n,p, где n = 1, 2,... и 0 < p < 1, если она имеет вид где Bp(i), i=1,2,...,n - независимые стандартные бернуллиевские величины с одним и тем же параметром p. На следующем рисунке приведены графики функции вероятности ( привязан к левой вертикальной оси ординат ) и функции распределения ( привязан к правой оси ординат ) для B 10, 0.3

3 Полезные свойства 1) Как известно, функции биномиального и бета распределений связаны следующим соотношением : =. 2) Симметричности бета - распределения соответствует симметричность хвостов распределения биномиального : =. 3) Сумма k независимых случайных величин есть также биномиальная случайная величина у которой 4) Согласно теореме Муавра - Лапласа при биномиальное распределение сходится к нормальному. Вот стандартная формулировка : если npq > 5 и 0.1 < p < 0.9, то, где Ф – стандартное нормальное распределение. В учебниках по статистике говорится, что если npq > 25, то эту аппроксимацию можно применять при произвольных значениях p. Если же значение p мало, то биномиальное распределение принято аппроксимировать пуассоновским :. Считается, что эту последнюю аппроксимацию следует применять при p< 0.1.

4 Биномиальное распределение

5 Геометрическое распределение Обозначение : G(n|p) Область значений : n 1, где n – целые. Параметры : Параметр – параметр схемы Бернулли ( вероятность " успеха "). Помните ? величину 1-p принято обозначать через q. Плотность ( функция вероятности ): pq n-1 Математическое ожидание : 1/p Дисперсия : q/p 2 Функция распределения : 1-q n

6 Связь с другими распределениями Значение n – число испытаний Бернулли с вероятностью успеха вплоть до появления первого успеха ( включая также и самый первый успех ). Связь геометрического распределения с биномиальным, отрицательным биномиальным и песка левым распределениями рассматривается в приложении " Схема Бернулли ". Генерация случайных чисел Случайные числа rG для геометрического распределения G(n|p) получаются из случайных чисел r для равномерного на [0,1] распределения R согласно формуле

7 Вычисление функции распределения и ее квантилей Не представляет никаких трудностей : используются лишь функции, входящие в стандартные библиотеки ( как в Си ), либо в сам язык ( как в Паскале ).