Проект по стереометрии « Задачи на построение сечений». Выполнили:: ученики 11 «А» класса МБОУ СОШ 4 Азарченков Сергей и Михайлицкий Андрей Руководитель: - презентация

1 Проект по стереометрии « Задачи на построение сечений». Выполнили:: ученики 11 «А» класса МБОУ СОШ 4 Азарченков Сергей и Михайлицкий Андрей Руководитель: Чеснокова Светлана Николаевна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение СОШ 4 г. Салехард, 2014 г.

2 1. Цель и задачи проекта 2.Многогранники. Виды многогранников. 3. Сечения многогранников. 4. Задачи на построение сечений. 5. Выводы 6. Используемые источники информации

3 * Ознакомиться с удивительным миром сечений и многогранников Задачи проекта: 1) Изучить: -что такое многогранники -виды многогранников -сечения многогранников 2) Выполнить построение сечений многогранников.

4 Построение сечений многогранников широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроение и во многих других областях науки и техники. Умение строить сечения поможет нам развить пространственное мышление, что во многом поможет в дальнейшей жизни.

5 * Многогранники. * Виды многогранников * Сечения * Виды сечений

6 * Многогранником или полиэдром обычно является замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда также называют тело, ограниченное этой поверхностью. * Трёхмерный многогранник совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве

7

8 Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона ( до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются Платоновыми телами. Правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны. Существует всего 5 видов правильных многогранников: * Куб (гексаэдр) * Тетраэдр * Октаэдр * Икосаэдр * Додекаэдр

9 Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усеченный тетраэдр Усечённый куб Усечённый октаэдр Усечённый додекаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоусечённый куб октаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр

10

11 * Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника. * Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости. Сечения. Основные понятия Рис.1 Рис.2

12 * Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например, в сечении пятиугольной призмы могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.

13 Плоскость сечения может задаваться : * 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; * 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; * 3) двумя пересекающимися прямыми; * 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

14 Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны.

15

16 Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости). Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости. Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости. Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K. Остановимся более подробно на методе «следов»

17 A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. A1A1 ПРИМЕР 1.

18 A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. ПРИМЕР 1.

19 A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F D 1 C 1, EK. F ПРИМЕР 1.

20 A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G. G ПРИМЕР 1.

21 A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F G Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»! Причем, GMАА 1 =Н. H ПРИМЕР 1.

22 A B C D C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F G H Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба. B1B1 ПРИМЕР 1.

23 Построение: 1) MN 2) NK 3) MP ||NK 4) KH ||MN 5) PH 6) MNKHP- искомое сечение A B D C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N K M P H ПРИМЕР 2.

24 Построение: 1) MN, NK 2) MN AD=X 3) XY ||NK 4) XY AB=P 5) XY BC=Q 6) MP,PQ 7) QH ||MN 8) KH 9) MNKHQP- искомое сечение A B D C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N K M P H X Y Q ПРИМЕР 3.

25 Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».

26 * Выполнив проект, мы расширили свой кругозор по теме: «Многогранники. Сечения многогранников», закрепили знания, полученные в 10-м классе по этой теме.

27 1.Геометрия. 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений/ / Л.С. Атанасян и др.- М.: Просвещение, http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/201 3/11/08/mnogogranniki-proekthttp://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/201 3/11/08/mnogogranniki-proekt 5http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=51190http://uztest.ru/abstracts/?idabstract= http://festival.1september.ru/articles/212754/ Используемые источники: