Понятие правильного многогранника. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". - презентация

1 Понятие правильного многогранника

2 Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона ( до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины.

4 Если правильные многоугольники существуют с любым числом сторон n3, то правильных многогранников всего пять и число граней у них равно 4, 6, 8, 12 или 20. И не существует правильного многогранника, состоящего из правильного n- угольника, при n>=6 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Угол правильного n-угольника при n>=6 не меньше 180(n-2)/n => 180(6-2)/6=180*4/6=120 градусов. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n>=6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120*3=360 градусов. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.

5 Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180° ( рис.11 ) Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240° (рис.12)

6 Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (рис.13) Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270° (рис.14)

7 Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324° (рис.15) Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

8 ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

9 Фигура Центр симметрии Ось симметрии Плоскость симметрии Тетраэдр Куб Точка пересечения диагоналей нет середины 2-х противоположных ребер (3 штуки) центры противоположных граней и середины противоположных ребер(9 штук) плоскость, проходящая через ребро и перпендикулярно противолежащему ребру(6 штук) плоскость, проходящая через любые 2 оси симметрии(9 штук)

10 Правильный октаэдр (рис.12), правильный икосаэдр (рис.13) и правильный додекаэдр (рис.15) имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.