Авторы: Миронова Оксана, Патрина Татьяна, Растяпина Мария, Волков Николай, Медведев Денис, учащиеся 10 «Б» класса «…Решение задач этого рода составляет. - презентация

1 Авторы: Миронова Оксана, Патрина Татьяна, Растяпина Мария, Волков Николай, Медведев Денис, учащиеся 10 «Б» класса «…Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин…» Л.П.Чебышев. «…Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин…» Л.П.Чебышев.

2 Если наложить определённые ограничения на переменную, то можно ли найти оптимальное решение задачи. Если наложить определённые ограничения на переменную, то можно ли найти оптимальное решение задачи.

3 Научиться обрабатывать и обобщать информацию, полученную в результате самостоятельного исследования Решить исторические задачи на нахождение экстремальных значений величин Формировать умения и навыки работы с компьютером для оформления результатов.

4 Пифагору принадлежит высказывание: « Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой – круг». Почему круг и шар – круг». Почему круг и шар – «прекраснейшие»? «прекраснейшие»? Пифагору принадлежит высказывание: « Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой – круг». Почему круг и шар – круг». Почему круг и шар – «прекраснейшие»? «прекраснейшие»? Николай Коперник в бессмертной книге «Об обращениях небесных сфер» даёт такой ответ: « Мир является шарообразным… потому, что эта форма обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно объять всё». Иначе говоря, размышляя о строении мира, Коперник полагал, что его « архитектура» подчинена принципам экстремальности и совершенства. Николай Коперник в бессмертной книге «Об обращениях небесных сфер» даёт такой ответ: « Мир является шарообразным… потому, что эта форма обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно объять всё». Иначе говоря, размышляя о строении мира, Коперник полагал, что его « архитектура» подчинена принципам экстремальности и совершенства. Пифагору принадлежит высказывание: « Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой – круг». Почему круг и шар – круг». Почему круг и шар – «прекраснейшие»? «прекраснейшие»? Пифагору принадлежит высказывание: « Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой – круг». Почему круг и шар – круг». Почему круг и шар – «прекраснейшие»? «прекраснейшие»?

5 История сохранила легенду о самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.).

6 Первое замечательное открытие в области теории экстремальных значений величин относится к первому столетию нашей эры. Александрийский ученый Герон установил, что путь светового луча от точки А до точки В при отражении от зеркала МК в точке С является кратчайшим (минимальным) расстоянием.

7 То, что световой луч АС, отражаясь от зеркала МК, образует с зеркальной поверхностью равные углы (угол падения светового луча равен углу отражения), было известно и ранее, но тот факт, что расстояние АС+СВ меньше АС+СВ, где С – любая другая точка зеркальной плоскости, отличная от С – было открытием То, что световой луч АС, отражаясь от зеркала МК, образует с зеркальной поверхностью равные углы (угол падения светового луча равен углу отражения), было известно и ранее, но тот факт, что расстояние АС+СВ меньше АС+СВ, где С – любая другая точка зеркальной плоскости, отличная от С – было открытием М С С К В А

8 Дальнейшим развитием теории экстремальных значений величин следует считать решение треугольника Шварца. Дальнейшим развитием теории экстремальных значений величин следует считать решение треугольника Шварца. Задача заключалась в том, чтобы в остроугольный треугольник вписать треугольник с минимальным периметром. Таким треугольником называется так называемый высотный треугольник А¹В¹С¹, вершинами которого являются основания высот данного треугольника АВС. Задача заключалась в том, чтобы в остроугольный треугольник вписать треугольник с минимальным периметром. Таким треугольником называется так называемый высотный треугольник А¹В¹С¹, вершинами которого являются основания высот данного треугольника АВС. Опираясь на задачу Герона, если предположить что стороны треугольника АВС «зеркальные», то высотный треугольник будет единственным треугольным контуром пути световых лучей. Опираясь на задачу Герона, если предположить что стороны треугольника АВС «зеркальные», то высотный треугольник будет единственным треугольным контуром пути световых лучей. Обобщение этой задачи нашло большое практическое приложение в динамике и оптике. Обобщение этой задачи нашло большое практическое приложение в динамике и оптике. Немецкий математик Герман Шварц ( )

9 В начале 19 века немецкий геометр В начале 19 века немецкий геометр Якоб Штейнер доказал два метода решения Якоб Штейнер доказал два метода решения экстремальных задач. экстремальных задач. Первый синтетический, т.е. с помощью частных приемов, второй метод с помощью дифференциального исчисления. Первый синтетический, т.е. с помощью частных приемов, второй метод с помощью дифференциального исчисления. Примером первого метода может служить решение проблемы минимизации общей протяженности дорог, связывающих несколько пунктов. Примером первого метода может служить решение проблемы минимизации общей протяженности дорог, связывающих несколько пунктов. Немецкий геометр Якоб Штейнер

10 В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом: В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом: В плоскости даны три точки А,В,С. Найти четвертую точку М плоскости так, чтобы сумма длин АМ+ВМ+СМ была минимальной. В С А М

11 « Много ли человеку земли нужно » Рассказ « Много ли человеку земли нужно » О крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев. - А цена какая будет ? – говорит Пахом. - Цена у нас одна : 1000 рублей за день. Не понял Пахом. - Какая же это мера - день ? Сколько в ней десятин будет ? - Мы этого,- говори,- не умеем считать. А мы за ней продаём ; сколько обойдёшь в день, то и твоё, а цена 1000 рублей. Удивился Пахом. - Да ведь это,- говорит,- в день обойти земли много будет. Засмеялся старшина. - Вся твоя, - говорит.- Только один уговор : если назад не придёшь в день к тому месту, с какого возьмёшься, пропали твои деньги. - А как же, - говорит,- отметить, где я пройду ? - А мы встанем на место, где ты облюбуешь ; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади ; потом с ямки на ямку плугом пройдём. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдёшь, всё твое. Л. Н. Толстой Л. Н. Толстой

12 Фигура, которая получилась у Пахома по рассказу, имеет вид: Р ABCD= =40 вёрст S ABCD= кв.вёрст При данном периметре Пахом получил не наибольшую площадь.

13 Из четырёхугольников ( ромб, трапеция, прямоугольник) с периметром 40 вёрст только прямоугольник имеет наибольшую площадь. Из четырёхугольников ( ромб, трапеция, прямоугольник) с периметром 40 вёрст только прямоугольник имеет наибольшую площадь. Периметр Стороны a и b Площадь и и и и и и Вывод: из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 вёрст и иметь участок площадью 81 кв. верста

14 Мы рассмотрим несколько задач, решение которых основывается на перечисленных выше фактах. Задача 1 Площадь треугольника АВС равна S. Укажите такой треугольник со стороной АС и площадью S, чтобы сумма длин двух других сторон была наименьшей. Решение S=1/2 АС H. Заданную площадь треугольника определяет сторона АС и высота Н. Проведем через точку В прямую МК параллельную АС. Теперь задачу можно сформулировать так: на прямой МК найдите такую точку В, чтобы сумма АВ+ВС была наименьшей, для случая, когда две точки А и С расположены в одной полуплоскости с границей МК на одном и том же расстоянии от МК. Опираясь на задачу Герона утверждаем, что треугольник АВС – равнобедренный. С К ВВ А М

15 Задача 2 Точки А,В,С,D –вершины квадрата. Построим кратчайшую систему линий: с одним узлом; двумя узлами. Взяв в качестве узла точку пересечения диагоналей квадрата, мы получим кратчайшую систему отрезков с одним узлом, соединяющих вершины квадрата. рис.1. Примером кратчайшей системы с двумя узлами может служить рисунок 2. рис.2. о

16 На плоскости даны к точек. Требуется найти замкнутый, состоящий из прямолинейных отрезков путь минимальной длины, связывающий эти точки. На плоскости даны к точек. Требуется найти замкнутый, состоящий из прямолинейных отрезков путь минимальной длины, связывающий эти точки. Эту задачу часто называют задачей о бродячем торговце. Данные точки – населенные пункты. Торговец должен обойти все их по кратчайшему маршруту. Как видим условие этой задачи очень простое. Однако эффективного решения ее (отличного от сравнения всех возможных маршрутов) все еще не найдено. Может кто-то из вас найдет оригинальное решение этой задачи. Эту задачу часто называют задачей о бродячем торговце. Данные точки – населенные пункты. Торговец должен обойти все их по кратчайшему маршруту. Как видим условие этой задачи очень простое. Однако эффективного решения ее (отличного от сравнения всех возможных маршрутов) все еще не найдено. Может кто-то из вас найдет оригинальное решение этой задачи. Желаем успеха! Желаем успеха!

17 Решив геометрические задачи на нахождение экстремальных значений величин геометрическим способом, мы доказали правоту нашей гипотезы. Решив геометрические задачи на нахождение экстремальных значений величин геометрическим способом, мы доказали правоту нашей гипотезы. Если наложить определённые ограничения на переменную, то можно найти оптимальное решение задачи. Если наложить определённые ограничения на переменную, то можно найти оптимальное решение задачи.

18 И.М.Смирнова., В.А.Смирнов. Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи. М.: Мнемозина, Ф. Ф.Нагибин. Экстремумы. М.1968 г. 4. Э.С.Беляева, В.М. Монахов. Экстремальные задачи. М.1977 г. 5. И.П. Натансон Простейшие задачи на максимум и минимум. М.1951 г.