Теория вероятностей и математическая статистика Занятие 4. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения. Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н., Шерстнёва Анна Игоревна

Определение. Случайной величиной называют вели- чину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Примеры. 1. Количество родившихся мальчиков среди 100 новорождённых. 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле. Чем отличаются случайные величины из этих двух примеров? Случайные величины: X, Y, Z,…, их значения: x, y, z,…

1. Количество родившихся мальчиков среди 100 новорождённых. 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле. Дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина принимает отдельные, изолированные значения. Дискретная случайная величина. Случайная величина принимает любое значение из некоторого промежутка. Непрерывная случайная величина.

Дискретная случайная величина Как определить дискретную случайную величину? 1. Перечислить возможные значения. Пример 1. Число, выпавшее при бросании кубика. Пример 2. Число, выпавшее при бросании кубика со смещённым центром тяжести (часто выдаёт 6). 2. Указать вероятности возможных значений. Законом распределения дискретной случайной вели- чины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения полностью определяет дискретную случайную величину.

Способы задания закона распределения дискретной случайной величины. Таблично: Xx1x1 x2x2 …xnxn pp1p1 p2p2 … pnpn Аналитически: Графически : p 1 + p 2 +…+ p n = 1 – многоугольник распределения

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Среди них один билет с выигрышем в 10 тысяч рублей и десять – с выигрышем в 1 тысячу рублей. Случайная величина – сумма выигрыша. Возможные значения: Х р закон распределения Х р 0110 многоугольник распределения

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает любое значение из некоторого промежутка. Способ задания перечислением возможных значений не подходит. – функция от переменной х Как определить непрерывную случайную величину?

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее x, то есть Функцию F(x) также называют интегральной функцией распределения. Замечание. Понятие функции распределения вводится таким образом не только для непрерывных случайных величин, но и для дискретных. F(x) = p(X < x). Функция распределения полностью определяет непрерывную случайную величину.

Свойства функции распределения 1) 2) Если x 1 < x 2, то 3) 4) Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то а) F(x)=0 при и б) F(x)=1 при 5) Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно определённое значение равна нулю: p(X=x) = 0. F(x) = p(X < x)

a b 1 Случайная величина задана на отрезке (a, b) Х р Пример. Х F(x) = p(X < x)

Также функцию f(x) называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию, являющуюся производной от функции распределения: f (x) = F(x). Существует ещё один способ задания непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения.

Свойства плотности распределения 1)2) 3) 4) a b f (x)f (x) p(a < x < b) f (x)f (x)

1. Биномиальное распределение Х – число появлений события А в n независимых испытаниях p – вероятность события А Возможные значения: Обозначим q=1 – p. Тогда p(k) = p k q n-k C n k k = 0, 1, 2, …, n Бином Ньютона: р – параметр распределения Основные дискретные распределения

2. Распределение Пуассона n – очень большое, p – очень мала, Возможные значения:k = 0, 1, 2, …, n Х – число появлений события А в n независимых испытаниях λ – параметр распределения Тогда p(k) = p k q n-k C n k.

3. Геометрическое распределение Х – число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А p – вероятность события А Возможные значения: Обозначим q=1 – p. Тогда p(k) = q k-1 p все натуральные числа k = 1, 2, 3, … р – параметр распределения p, qp, q 2 p, q 3 p, q 4 p,... – геометрическая прогрессия

4. Гипергеометрическое распределение Х – число стандартных изделий среди отобранных Возможные значения: k = 0, 1, 2, …, min (M,n) В партии из N изделий имеется М стандартных. Из партии случайно выбирают n изделий. N, M, n – параметры распределения

1. Показательное распределение λ – параметр распределения Основные непрерывные распределения

2. Равномерное распределение В интервале (a, b) постоянная плотность распределения a, b – параметры распределения

3. Нормальное распределение a, σ – параметры распределения

Пусть независимые случайные величины Х 1, Х 2, …, Х k имеют нормальное распределение, причём математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1. Тогда сумма квадратов этих величин: имеет – распределение с k степенями свободы. 1) Случайная величина χ ) При увеличении числа степеней свободы распределение Пирсона медленно приближается к нормальному. k – параметр распределения 4. Распределение χ 2 (распределение Пирсона)

5. Распределение Стьюдента (t – распределение) Пусть X и Y – независимые случайные величины. X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0, и средним квадратическим отклонением, равным 1. Y имеет – распределение с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы k – параметр распределения При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

6. Распределение Фишера (F – распределение) Пусть X и Y – независимые случайные величины. X имеет – распределение с k 1 степенями свободы. Y имеет – распределение с k 2 степенями свободы. Тогда величина имеет распределение Фишера с k 1 и k 2 степенями свободы. k 1 и k 2 – параметры распределения Так как X 0 и Y 0, то F 0.

Контрольные вопросы 1. Что такое случайная величина? 2. Какие бывают случайные величины? 3. Чем отличаются дискретные и непрерывные случайные величины? 4. Что такое закон распределения дискретной случайной величины? 5. Как можно задать закон распределения случайной величины? 6. Что такое многоугольник распределения? 7. Как можно задать непрерывную случайную величину? 8. Что такое функция распределения? 9. Перечислите основные свойства функции распределения. 10. Как найти вероятность попадания значений случайной величины в определённый интервал с помощью функции распределения?

Контрольные вопросы 11. Что такое плотность распределения вероятностей случайной величины? 12. Для каких случайных величин может быть найдена плотность распределения вероятностей? 13. Перечислите основные свойства плотности распределения. 14. Как найти вероятность попадания значений случайной величины в определённый интервал с помощью плотности распределения? 15. Как найти функцию распределения случайной величины, если известна плотность распределения? 16. Перечислите основные дискретные распределения. 17. Перечислите основные непрерывные распределения.