Точные решения в одномерной и двумерной моделях Изинга. Отсутствие фазового перехода в одномерном случае 1.3. Точное решение модели Изинга

Одномерная модель Изинга В низкоразмерной ситуации в приближении ближайших соседей удается точно рассчитать статистические свойства модели Изинга и исследовать проблему фазового перехода в ней Рассмотрим цепочку из N спинов, замкнутую в кольцо. Гамильтониан системы при учете взаимодействия только между ближайшими соседями: 2

Одномерная модель Изинга Любую термодинамическую величину можно выразить через статистическую сумму или ее термодинамические производные. Например, средний магнитный момент можно представить как производную логарифма стат суммы по магнитному полю: 3

Статистическая сумма Представим статистическую сумму следующим образом, имея ввиду полный перебор возможных мгновенных реализаций расположений спинов в цепочке: Удобно перебирать состояния системы не по отдельным узлам, а по парам. Введем матрицу 4

Статистическая сумма Матрица описывает все возможные состояния пары узлов j, j+1. Условно можно также записать: Статистическая сумма имеет вид суммы большого числа произведений матриц: 5

Статистическая сумма Из свойства получаем На главных диагоналях при перемножении матриц собираются все возможные реализации расположений спинов: 6

Статистическая сумма След матрицы не меняется при ее преобразовании к другому представлению. Если матрицу P представить в диагональном виде, то Решая секулярное уравнение получаем В пределе больших N 7

Намагниченность Точный результат для намагниченности: В отсутствие взаимодействия (V=0) из получаем обычное выражение для намагниченности системы невзаимодействующих спинов: В пределе слабого поля: Намагниченность не имеет особенностей ни по взаимодействию, ни по полю, исчезает при выключении поля, т.е. проявляет явные парамагнитные свойства. Фазового перехода нет. 8

Двумерная модель Изинга В 1944 г. Онзагером было предложено точное решение задачи о фазовом переходе в модели Изинга на двумерной квадратной решетке. Основной вывод – существует переход в ферромагнитное состояние Рассмотрим двумерную квадратную решетку с периодическими граничными условиями и N узлами, каждый из которых имеет единичный спин. В этом случае гамильтониан Изинга в приближении ближайших соседей и в отсутствии внешнего поля на такой решетке имеет вид: Нумерация узлов – по координатам решетки, x=ka, y=la, a – период решетки 9

Статистическая сумма Статистическая сумма: Используя тождества получаем 10

Статистическая сумма Каждому члену полинома можно однозначно поставить в соответствие совокупность линий (графиков), соединяющих некоторые пары соседних узлов решетки 11

Статистическая сумма Статистическая сумма может быть представлена в виде g r – число замкнутых графиков, составленных из четного числа связей Онзагер разработал способ перебора графиков из суммы с помощью специальной их классификации по длине связей r и использовал подход блуждающей шаг за шагом по решетке точки с вероятностью перехода, определяемой специальной матрицей перехода. Окончательное точное выражение для статистической суммы имеет вид: 12

Свободная энергия Свободная энергия двумерной модели Изинга: Перейдем от суммирования к интегрированию: Исследуем свободную энергию вблизи критической температуры и рассчитаем критическую температуру 13

Критическая температура Функция F(T) имеет особую точку при том значении x, при котором аргумент логарифма под знаком интеграла может обратиться в нуль. Этот аргумент минимален при Выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль, при Соответствующая температура T c и является точкой фазового перехода. Таким образом, в двумерной модели Изинга наблюдается фазовый переход парамагнетик-ферромагнетик при конечной температуре. Результат теории среднего поля: 14

Критическая температура Вблизи критической температуры зависимость свободной энергии непрерывна, а теплоемкость расходится логарифмически После разложения аргумента логарифма вблизи его минимума имеем: Расчитывая это выражение при t0 получаем: 15