Модель Изинга в приближении среднего поля. Точное решение модели Изинга. Метод Монте-Карло для модели Изинга 2.6. Метод Монте-Карло для модели Изинга

Модель Изинга Модель Изинга: На каждом узле есть только две степени свободы В основном состоянии при нулевой температуре спины либо «заморожены» и ориентированы вдоль поля (ферромагнитное состояние), либо чередуются (антиферромагнитное состояние). В обоих случаях основное состояние модели Изинга является упорядоченным состоянием со спонтанной намагниченностью При достаточно большой температуре, называемой температурой Кюри для ферромагнетика и температурой Нееля для антиферромагнетика, происходит фазовый переход в неупорядоченное, парамагнитное состояние 2

Модель Изинга в приближении среднего поля (ферромагнетик) Самосогласованное уравнение для среднего магнитного момента: Температура Кюри Предельные случаи малых температур и температур вблизи температуры Кюри При нулевом внешнем поле: 3

Модель Изинга в приближении среднего поля (ферромагнетик) Магнитная восприимчивость Вблизи точки фазового перехода магнитная восприимчивость ферромагнетика подчиняется закону Кюри При нулевом внешнем поле Предельные случаи: 4

Модель Изинга в приближении среднего поля (антиферромагнетик) Средний магнитный момент в упорядоченном состоянии равен нулю Для описания системы ее искусственно разделяют на две подрешетки (со спином +1 и со спином –1) Восприимчивость испытывает не расходимость, а только излом производной Предельные случаи: 5

Точное решение модели Изинга Модель Изинга при J ij =J решена точно для одномерного и двумерного случаев В одномерном случае для бесконечной системы фазовый переход «ферромагнетик – парамагнетик» отсутствует, и магнитный момент является аналитической функцией температуры и внешнего поля 6

Точное решение модели Изинга В температурной зависимости восприимчивости отсутствуют особенности как для ферромагнетика, так и для антиферромагнетика: 7

Точное решение модели Изинга Зависимость теплоемкости от температуры также не имеет особенностей. При нулевом магнитном поле В двумерном случае в плоской квадратной решетке существует фазовый переход при температуре, удовлетворяющей уравнению В этом случае теплоемкость в точке фазового перехода имеет логарифмическую особенность: 8

Метод Монте-Карло для модели Изинга Гамильтониан модели Изинга в удельном базисе диагонален: Уравнение детального баланса: Интенсивность переходов Алгоритм Метрополиса: Алгоритм тепловой ванны: Функция Глаубера: 9

Метод Монте-Карло для модели Изинга Если учитывается только взаимодействие между ближайшими соседями, то при расчете энергии новой конфигурации, получающейся из предыдущей конфигурации переворотом спина на узле i, достаточно лишь пересчитать изменение энергии вблизи спина i Вне зависимости от принятия или непринятия новой конфигурации необходимо на каждом шаге МК вычислять искомую физическую величину A по данной мгновенной конфигурации 10

Схема алгоритма Монте-Карло для модели Изинга 11

Моделирование двумерной модели Изинга Моделирование двумерной системы 50 х 50 ; внешнее поле H=0.03 Результаты хорошо согласуются с теоретическим результатом Онзагера для двумерной модели 12

Моделирование двумерной модели Изинга 13