Спиновый парамагнетизм в теории Стонера. Переход металл – диэлектрик. Модель Хаббарда. Модель Мотта 1.7. Зонная теория ферромагнетизма

Приближение сильной связи Электрон в твердом теле ведет себя как квазичастица: в отсутствии примесей он не рассеивается, имеет определенный квазиимпульс (не являющийся собственным числом оператора импульса), закон дисперсии, отличный от закона дисперсии свободной частицы и, соответственно, не имеет определенной координаты Рассмотрим идеальный кристалл в приближении сильной связи. Хорошим квантовым числом в приближении сильной связи электрона с узлом является номер узла. Если ввести удельные операторы рождения и уничтожения электрона на узле, то гамильтониан системы запишется следующим образом: Первый член описывает затравочную (нулевую) энергию электронов, локализованных на узлах; второй член описывает перескоки на соседние узлы 2.

Приближение сильной связи Перейдем к фурье-представлению: Тогда гамильтониан принимает диагональный вид: Закон дисперсии электрона с учетом взаимодействия только ближайших соседей Одномерный случай: Эффективная масса электрона: 3.

Приближение сильной связи Этот закон дисперсии описывает полосу энергии, равную 2Zt, так называемую зону проводимости. Ее ширина пропорциональна вероятности перескока. При увеличении концентрации электронов зона может последовательно заполняться в соответствии с принципом Паули. 4.

Парамагнетизм Паули Рассмотрим газ свободных электронов в слабом магнитном поле. Суммарная энергия электрона будет зависеть от ориентации его спина относительно внешнего поля: Суммарный магнитный момент системы есть сумма магнитных моментов электронов со спином вверх минус магнитный момент электронов со спином вниз: Для малых полей При низких температурах 5.

Ферромагнетизм в модели Стонера Рассмотрим газ делокализованных электронов с кулоновским взаимодействием В приближении среднего поля: Газ можно рассматривать как свободный с законом дисперсии 6.

Ферромагнетизм в модели Стонера Кулоновское взаимодействие сильно экранировано, и поэтому при малых импульсах можно пренебречь зависимостью матричного элемента от импульса: Окончательно, Средняя намагниченность системы: Самосогласованное уравнение Стонера для намагниченности электронного газа с кулоновским взаимодействием: 7.

Ферромагнетизм в модели Стонера Нормировка на число частиц: Исследуем в общем случае условия существования фазового перехода. При разложении до первой производной фермиевской функции распределения по энергии имеем: При низких температурах Разложим уравнение Стонера до третьей производной функции распределения по энергии: 8.

Ферромагнетизм в модели Стонера В наиболее существенной области интегрирования ε~μ и Условие Блоха – Стонера для существования при ненулевой температуре спонтанной намагниченности: Условие на параметр взаимодействия при низких температурах: Ферромагнетизм Стонера возникает только при достаточно большом параметре кулоновского взаимодействия 9.

Модель Хаббарда Гамильтониан ферми-газа с кулоновским взаимодействием: Хорошим квантовым числом является номер узла. Перейдем от импульсного представления к удельным операторам: Кинетическая часть гамильтониана имеет вид: Амплитуда перескока быстро затухает в узкозонном веществе с сильно локализованными носителями, и обычно достаточно учесть перескоки только на ближайшие соседи 10.

Модель Хаббарда Потенциальная часть гамильтониана в удельном представлении: Полагая, что главный вклад дает взаимодействие на одних и тех же узлах, получаем: В приближении ближайших соседей: Знак перескока выбирается из удобства отсчета получающихся зон симметрично от центра зоны Бриллюэна: смена знака у перескока не меняет спектр модели Хаббарда, если перескок происходит только между ближайшими соседями 11.

Модель Хаббарда Рассмотрим сначала предел сильного кулоновского взаимодействия. Пусть в системе половинное заполнение, тогда электроны заперты каждый на своем узле и энергия Если теперь включить перескок t, то локализованные состояния начинают расщепляться в зоны шириной порядка 2Zt, где Z – число ближайших соседей (нижняя и верхняя Хаббардовские зоны). Пока зоны не слились, вещество остается диэлектриком. При критической величине расщепления щель исчезает, и система переходит в состояние металла 12.

Модель Мотта У ряда переходных соединений с увеличением температуры происходит скачок проводимости, который может достигать многих порядков величины. Возможное объяснение состоит в том, что с увеличением температуры величина постоянной решетки переходит через пороговое значение, при котором локализованные электроны становятся делокализованными Пусть сначала вещество находится в состоянии изолятора. Валентный электрон движется вокруг своего иона, находясь в его кулоновском поле, с энергией Значение энергии в точке минимума: образом, электрон находится в связанном состоянии, не проводит ток, и состояние – изолятор 13.

Модель Мотта Учтем, что в электронном газе кулоновское взаимодействие сильно экранировано Рассчитаем отклик системы электронов на слабый приложенный потенциал: Рассмотрим уравнение Пуассона Переходя к фурье-компонентам, находим: 14.

Модель Мотта Координатная зависимость потенциала: Дебаевский радиус экранирования зависит от концентрации электронов: Экранирование ослабляет энергию связи, и при определенном значении r D может наступить делокализация электрона, и переход Мотта в металлическое состояние. Условие перехода: При возрастании плотности электронного газа (т.е. увеличении давления и уменьшении межатомного расстояния) до величины, когда на каждый электрон приходится сфера с радиусом порядка боровского радиуса, система переходит из диэлектрического состояния в металлическое, т.е. реализуется переход Мотта 15.