Метод обратной функции. Метод фон Неймана. Распределение Пуассона. Нормальное распределение. Почти линейное распределение. Двумерные распределения 2.3. Случайные распределения

Вероятность в физике Понятие вероятности является одним из ключевых в квантовой физике Современное описание квантовых систем имеет исключительно вероятностный характер Три фундаментальных распределения Распределение Больцмана: Распределение Ферми – Дирака: Распределение Бозе – Эйнштейна: При численном моделировании квантовых систем часто возникает необходимость получать случайные величины с заданным законом распределения, причем существенным моментом при этом является эффективность алгоритма с точки зрения временных затрат 2

Метод обратной функции Функция распределения случайной величины: Плотность распределения: Пусть существует обратная функция F - 1 (y), такая, что если 0

Пример. Экспоненциальное распределение Функция распределения: Плотность распределения: По методу обратной функции получаем: Окончательно: 4

Распределение Пуассона Распределение Пуассона характеризует число реализаций в единицу времени событий, каждое из которых может произойти в любой момент 5

Распределение Пуассона Блок-схема алгоритма получения случайных чисел, распределенных по закону Пуассона 6

Метод фон Неймана Случайная величина ξ определена на интервале (a,b), и ее плотность распределения ограничена: Генерируются два случайных числа R 1, R 2, равномерно распределенные на (0,1), и строится точка на плоскости с координатами Если эта точка лежит ниже кривой y=p(x), то искомое число найдено: Если точка лежит выше кривой, сгенерированная пара отбрасывается 7

Нормальное распределение Нормальный закон распределения случайных величин, часто также называемый законом Гаусса, играет исключительно важную роль в физике. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при достаточно часто встречающихся типичных условиях Сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону Нормальный закон распределения: 8

Нормальное распределение Блок-схема алгоритма получения нормально распределенных случайных чисел 9

Нормальное распределение Гистограмма нормально распределенных случайных величин, полученная из равномерного распределения при помощи алгоритма: 10

Почти линейное распределение Плотность распределения: Почти линейному распределению удовлетворяет целый класс функций 11

Почти линейное распределение Все точки, попадающие в процессе работы алгоритма в закрашенную область, имеют почти линейную плотность распределения 12

Двумерные распределения Совокупность двух случайных величин (X,Y), рассматриваемых совместно, называется системой случайных величин. Система двух случайных величин (X,Y) геометрически интерпретируется как случайная точка с этими координатами на плоскости xy Функция распределения системы двух случайных величин: Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X,Y) в закрашенную область, ограниченную снизу и слева только областью определения случайных величин X и Y : 13

Двумерные распределения Плотность распределения системы двух случайных величин: Функция распределения системы случайных величин: Пример Сначала генерируем случайную величину Функция распределения случайной величины z : По методу обратной функции: 14

Двумерные распределения Закон распределения случайной величины x при заданном z : Случайная величина x распределена равномерно на интервале (0,1–z) Искомая система случайных величин: R 1, R 2 – независимые случайные величины, распределенные равномерно на (0,1) Вдоль линий y–x=const распределение, с точностью до статистического разброса, является равномерным Для генерации двумерных распределений случайных величин справедлив и метод фон Неймана 15

Двумерные распределения 16