Теорема косинусовТеорема синусов Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решения треугольников Нажатием мышки выберите нужную тему. Тест

Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. A B C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α ! ! Далее

Следствие AB C AB C D Угол - острыйУгол - тупой CD – высота AD – проекция стороны AC на сторону AB. CD – высота AD – проекция стороны AC на продолжение стороны AB. cos = AD/AC cos (180 - ) = AD / AC = –cos AD = AC cos AD= – AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB ADBC ² = AB ² + AC ² + 2AB AD cos (180 - ) = –cos D Далее Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+»надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый.

Далее Дано: Найти: Решение: AC = 5 м BC - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = 6 ² + 5 ² ,6 BC ² = BC ² = 25 BC = 5 Ответ: 5 м. BC = 25 Решение задач - пример ? AB = 6 м cos = 0,6

BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos Далее Дано: Найти: Решение: AC = 5 м cos - ? A B C Ответ: 0,2. cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / cos = ( ) / 60 cos = 0, Решение задач - пример 2. AB = 6 м BC = 7 м

Дано: Найти: Решение: BC = 4 м AD - ? BD - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м. D AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6 AD = ( – 16 ) / 12 AD = 3,75 BD = AB - AD BD = 6 – 3,75 = 2,25 Возврат в меню Решение задач - пример 3. AC = 5 м AB = 6 м

Далее Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB C !! AB C a/sin = b/sin β = c/sin γ a b c a b c β β γ γ

Дано: Найти: Решение: ABC AB - ? Ответ: b sin γ / sin ( + γ) Далее A B C b γ b / sin β = AB / sin γ AB = b sin γ / sin β AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ)) AB = b sin γ / sin ( + γ) Решение задач - пример 1. AC = b, γ точка B недоступна

Возврат в меню Дано: Найти: Решение: = 45° b - ? A B C a b c Ответ: 3 6 / 2 a/sin =b/sin β b= a sin β/ sin b = 3 sin 60 ° / sin 45 ° β b = 3 ( 3 / 2) / (1 / 2 ) b = 3 6 / 2 Решение задач - пример 2. β = 60° a = 3 м

b ! Далее Теорема 3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. AB C AB C a a b β β Если > β, то a > b !

C Далее Решение задач - пример 1. Дано:Решение: ABC - равнобедренный A = C > 60° A B Значит, A + C > 120° B = 180° - ( A + C)

Возврат в меню Решение задач - пример 2. Дано: Найти: Решение: AC = 18 см Ответ: A - острый. Каким является А – острым, прямым или тупым? A B C Так как AB > AC, то C > B То есть С > 50° Тогда B + C > 100° A = 180° - ( B + C) > 80° A - острый 50° AB = 20 см B = 50° ?

c = 20 (sin 45° / sin 75°) 20 (0,7 / 0,966) 14,6 Далее Решение задач - пример 1. Дано: Найти: Решение: a = 20 см Ответ: 45°; 17,9 см; 14,6 см. γ - ? b - ? c - ? γ = 180° - (β + ) γ = 180° - (75° + 60°) = 45° b = a (sin β / sin γ) с a b β γ b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966) 17,9 c = a (sin γ / sin ) a / sin = b / sin β = c / sin γ = 75 ° β = 60°

γ Далее Решение задач - пример 2. Дано: Найти: Решение: Ответ: 28 см; 39°; 11°. cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 11° a = 7 м a b β c - ? β - ? c - ? β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°) 39° c = a ² + b ² - 2 a b cos γ c = – (- 0,643) 28 b = 23 м γ = 130°

Решение задач - пример 3. Далее Дано: Найти: Решение: a = 7 см Ответ: 54°; 13°; 113°. - ? β - ? γ - ? cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 54° γ 180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113° cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2 a c cos β = ( – 4) / ,973 β 13° γ a b β c b = 2 см c = 8 см

Решение задач - пример 4. Далее Дано: Найти: Решение: a = 12 см Ответ: 8,69 см; 21°; 39°. c - ? β - ? γ - ? a / sin = b / sin β = c / sin γ sin β = (b / a) sin β 1 21° и β 2 159°, так как - тупой, а в треугольнике может быть только один тупой угол, то β 21°. γ 180° - ( + β) = 180° - (120° + 21°) = 39° γ a b β c sin β = (5 / 12) 0,866 0,361 c = 12 (sin 39° / sin 120°) 12 (0,629 / 0,866) 8,69 c = a (sin γ / sin ) b = 5 см = 120 °

Выход Возврат в меню