Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Общеобразовательная гимназия 21» XXII гимназическая конференция старшеклассников «Наука. Поиск. Открытие» Теоретико – практическая работа на тему: «Теорема Виета и ее применение при решении нестандартных задач» Выполнила: Башкина Ирина Евгеньевна, обучающаяся 8 «Б» класса Научный руководитель: Фомина Наталья Ивановна, учитель математики

Введение Объект исследования - теорема Виета. Предмет исследования – применение теоремы Виета для решения нестандартных задач по математике в 8 классе. Цель работы - показать примеры применения теоремы Виета при решении нестандартных задач в 8 классе.

Введение Задачи: 1. проанализировать информацию из разных источников по данной теме; 2. познакомиться с биографией Виета и рассмотреть происхождение теоремы Виета; 3. обосновать существование прямой и обратной теоремы Виета; 4. выявить существование теоремы Виета для трех и более корней (обобщенной теоремы Виета); 5. показать примеры применения теоремы Виета для решения нестандартных задач; 6. показать значение этой теоремы для подготовки учащихся к олимпиадам, экзаменам, в том числе ГИА и ЕГЭ, и поступлению в вуз; 7. обобщить собранный материал, сделать выводы.

Гипотеза: мы полагаем, что решение нестандартных задач с использованием теоремы Виета (и обратной к ней) на уроке и во время дополнительных занятий поможет учащимся быть успешными на олимпиадах и экзаменах по математике. Методы исследования : анализ литературы, сравнительный анализ, обобщение.

Франсуа Виет

Основные этапы жизни Франсуа Виета Родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Окончил университет в Пуату и стал юристом; в 1671 году перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III. Прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись; когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет отстранён от дел (1584 – 1588), он полностью посвятил себя математике. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних»;

Основные этапы жизни Франсуа Виета в 1589 году Виет возвратился в Париж. В последние годы жизни Франсуа Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. В некоторых источниках встречаются предположения, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Франсуа Виет звался сеньор де ла Биготье; умер 14 февраля 1603 г. в возрасте 63 лет а Париже; главное сочинение Виета - «Введение в аналитическое искусство» 1591 г.; 1646 г. Лейден «Математические сочинения Виета» ван Скоотен.

Основные достижения Виета разработал почти всю элементарную алгебру; получил формулы зависимости между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения; ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях; ввел понятие математической формулы; показал, что можно решить задачу в общем виде; из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «т»; первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты - над многочленом. первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов; методы решения треугольников привел к более законченному виду.

Теорема Виета Формулировка. Если x 1 и x 2 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то справедливы формулы: x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q Сформулируем иначе: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Обратная теорема Виета Формулировка. Если числа p, q, x 1, x 2 таковы, что x 1 + x 2 = -p и x 1 + x 2 = q, то x 1 и x 2 – корни уравнения x 2 + px + q = 0. Сформулируем иначе: Если сумма 2 чисел равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа – корни данного приведенного уравнения.

Обобщенная теорема Виета Теорема Виета для приведенного уравнения третьей степени: Теорема Виета для приведенного уравнения четвертой степени:

Заключение Мы с уверенностью делаем вывод, что недаром Франсуа Виета называют «отцом алгебры». Он действительно был выдающимся ученым. Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов квадратного уравнения, то записать даже несложную формулу для его решения трудно. Виет внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Пьера Ферма, Рене Декарта, Исаака Ньютона. Каждый ученик восьмого класса сегодня знает это имя. Это высокая честь для ученого. Нестандартные задачи по теме «Теорема Виета» могут быть предложены для самостоятельного решения интересующимся математикой учащимся на дополнительных и факультативных занятиях.

Стихотворение о теореме Виета «По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова: В числителе c, в знаменателе a А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда – В числителе b, в знаменателе a » (А. Гуревич)