Муниципальное образовательное учреждение основная общеобразовательная школа 7 г.о. Тольятти учитель математики высшей категории Холова Сания Минзакировна

Решение геометрических задач трудно дается учащимся, так как требуют развитого абстрактного мышления, умения видеть и чувствовать чертеж. Их особенностью является рассмотрение различных конфигураций геометрических фигур. Д ля их решения необходимо знать множество формул, теорем, свойств и определений. Представленные ниже задачи можно рассматривать на уроке, отведенном для подготовки учащихся к ЕГЭ.

Задача 1 Дан ромб со стороной a и одним из углов в 60. В этот ромб вписана окружность S. В угол ромба, равный 60, вписана окружность так, что она касается окружности S. Найдите радиус этой окружности.

Решение А В С D О К М N

ВС = а, ВСD = 60. Центры данной окружности О и искомой К лежат на биссектрисе угла ВСD, так как они равноудалены от сторон ВС и DС ромба. Из ВОС ОС = ВС cos ВОС = а cos30 =. Из МОС R = ОС sin ОСD = sin30 =.

Аналогично из KNC R = KN = KC sin30 = KC, но КС = ОС – (R + r). Получили уравнение r = ( - R – r). Отсюда 3r =, r =. Ответ: радиус искомой окружности равен r =

Задача 2 В треугольнике со сторонами 6, 12, 3, две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найдите радиус этой окружности.

Решение В АС О М К АВС – прямоугольный так как. В самом деле, и 180 = С другой стороны, Так как радиус окружности, проведенной в точку касания перпендикулярен касательной, то

Поэтому Итак, 3r + 6r = 36 r = 4. Ответ: радиус окружности равен 4.

Задача 3 В четырехугольнике АВСD АВ = 5 см, ВС = 3 см, АD = 8 см, А = 30, В = 120. Найти сторону СD.

Решение А В С D Е см 3 см 8 см Продолжим стороны ВС и АD четырехугольника АВСD до их пересечения в точке Е. Тогда Е = 180 – ( ) = 30. Так Как А = 30 и Е = 30, то АВЕ – равнобедренный и АВ = ВЕ = 5 см. Так как ВС = 3 см (по условию), то СЕ = 2 см. S = АВ ВЕ sin В = АВ АЕ sin А, 5 sin 120 = АЕ sin 30, или 5 cos 30 = (8+ DЕ),

или 5 = 8 + DЕ, откуда DЕ = Теперь из DЕС по теореме косинусов находим СD: - 2 DЕ СЕ cos 30 или = + 4 – 2(5 - 8),, откуда СD = 1,5 см. Ответ: 1,5 см.