Преобразования графиков функций Учитель математики Карамышева Е.Е. ЛИЕН г. Саратов. 1

Цели презентации Упростить проведение лекционных занятий среднего и углубленного изучения математики. С помощью приведенных базовых алгоритмов и изображений, помочь ученикам легче усвоить данный учебный материал. 2

Симметрия относительно осей координат. 3

а)y=-f(x) 1)строим y=f(x). 2)отображаем все точки симметрично относительно оси O X ! 0 x y

б)y=f(-x) 1)строим y=f(x). 2)отображаем все точки графика симметрично относительно оси O y ! y x

Сдвиг вдоль осей координат. 6

a) y=f(x)+a 1)строим y=f(x). 2)все точки графика сдвигаем вдоль оси O y на a вверх. 0 x y 1-способ

1)строим y=f(x). 2) сдвигаем ось O x на –a. 0 x y 2-способ x y

Y=sin(x) Y=sin(x)+2 2 ПРИМЕР: y=sin(x)+2 1)Построим график функции y=sin(x) 2)Все точки графика сдвигаем вдоль оси Oy на +2. 9

б )Y=f(x+b) 1)строим y=f(x). 2)все точки графика сдвигаем вдоль O x на b влево. 0 x y 1-способ b-b 10

б )Y=f(x+b) 1)строим y=f(x). 2)сдвигаем ось O y на b вправо. 0 x y 2-способ 1 1 -b 11

ПРИМЕР: y=cos(x+ π /3) 1)Построим y=cos(x) 2)Все точки графика сдвигаем на π /3 вдоль оси O x влево. y=cos(x+π/3)y=cos(x) 12

Растяжение и сжатие. 13

Алгоритм построения функции: y=af(x) 1)строим y=f(x). 2)а)если а>1, то (x;y) (x;a y) т.е. происходит растяжение вдоль O y в а раз. b)если 0

ПРИМЕР 1 y=2sin(x) 1)строим y=sin(x). 2) умножаем ординату y каждой точки на 2, происходит растяжение графика вдоль оси О y в 2 раза. Y=sin(x) Y=2sin(x) 15

ПРИМЕР 2 y=0,5cos(x) 1)строим y=cos(x). 2) умножаем ординату y каждой точки на 0,5, происходит сжатие графика вдоль оси О y в 2 раза. Y=cos(x) Y=0.5cos(x) 16

Алгоритм построения функции: y=f(bx) 1)строим y=f(x). 2)Если b>1 (x;y) =>(1/b x;y) т. е. происходит сжатие вдоль О x в b раз. Если b (b x;y) т. е. происходит растяжение вдоль О x в b раз. 17

ПРИМЕР1 y=sin(2x) 1)Строим y=sin(x). 2)Умножаем ординату каждой точки на 1/2, т.е. происходит сжатие вдоль О x в 2 раза. y=sin(x) y=sin(2x) 18

ПРИМЕР 2 y=cos(0,5x) 1)строим y=cos(x). 2) Умножаем ординату каждой точки на 2, т.е. происходит растяжение вдоль Оx в 2 раза. y=cos(x) y=cos(0.5x) y x 19

Гармонические колебания

Величина называется частотой колебания. Чем больше величина, тем больше число колебаний за единицу времени. называется начальной фазой колебания. Это формула гармонических или синусоидальных колебаний. Величина A называется амплитудой колебаний, она характеризует размах колебания. 21

Построим график функции Прежде всего преобразуем функцию к виду: 1)Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы xy в точку O с координатами 2)В системе xy построим график функции y=sinx.3)Осуществим сжатие построенного графика к оси y с коэффициентом, получим график: 4)Осуществив растяжение последнего графика от оси x с коэффициентом A, получим требуемый график. Алгоритм построения графика функции вида: 22

Рассмотрим пример: Прежде всего преобразуем функцию к виду: y x0 1 y 1)Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы xy в точку O с координатами 2)В системе xy построим график функции y=sinx.3)Осуществим растяжение построенного графика к оси y с коэффициентом 3, получим график y=sin(x/3); 4)Осуществив растяжение последнего графика от оси x с коэффициентом 2, получим требуемый график

Графики с модулем. 24

Алгоритм построения функции y=|f(x)| 1) Строим график 2)Часть графика лежащую ниже оси Оx отображаем зеркально вверх, при этом не меняя часть графика выше оси Оx функции y=f(x) 25

Пример 1)Строим 2)Часть лежащею ниже оси Оx отображаем зеркально вверх 26

Алгоритм построения функции y=f|x| 1)Строим график функции y=f(x), где x 0 2)Эту часть графика отображаем симметрично относительно O y. 3)Исходный график: y=f(x), где x 0 и его отображение. 27

Пример 1)Строим 2)Отображаем график симметрично относительно Oy. 28

График y=tgx 29

График y=|tgx| 30

График y=tg|x| 31

Примеры построения графиков сложных функций Постройте график: 32

Для начала преобразуем эту функцию 33

Теперь построим график другой функции После преобразования данной функции получим: 34

Пример 3 Преобразуем данную функцию а) б) на 35

Теперь построим график данной функции y=cosx y=sinx y=2sinxy=2cosx 36

Это и есть конечный график 37

Использованная литература В.А.Гусев А.Г.Мордкович «Справочные материалы» С.М.Никольский М.К.Потапов Н.Н.Решеткин А.В.Шевкин «Начало анализа» А.Х. Шахмейстер «Тригонометрия» 3838