Урок 4. Решение полных квадратных уравнений (общая формула) Автор: Ильина Юлия Валерьевна ГОУ лицей 373 «Экономический лицей» Санкт- Петербург

верно неверно

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне (4000 лет назад) Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

верно неверно

Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax 2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стаяА двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче 2 уравнение:, Бхаскара пишет : x x = и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2, получая затем: x 2 - б 4 х = , (х - 32) 2 = 256, х - 32= ±16, x 1 = 16, x 2 = 48. Задача 2

индийский ученый (VII в.)

верно неверно

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми. В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1. «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх. 2. «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с. 3. «Корни равны числу», т. е. ах = с. 4. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх. 5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх = с. 6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах 2. Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Его решение не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Приведем пример. Задача 3. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х = 10 х). Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

СОВЕТ: РАСКРЫТЬ СКОБКИ, ПЕРЕНЕСТИ СЛАГАЕМЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ, ПРИВЕСТИ ПОДОБНЫЕ. СОВЕТ: ПРИВЕСТИ ДРОБИ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ, ПРИВЕСТИ ПОДОБНЫЕ

КОРНИ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ НУЖНО УПРОСТИТЬ, ТАК ИХ УДОБНЕЕ ОЦЕНИВАТЬ.

Последние три уравнения имеют общую особенность. Второй коэффициент – четный. Для таких случаев есть облегченная формула нахождения корней. Зная эту формулу последнее уравнение решается быстрее.

312 (б,г,д,е), 313(е,з), 314 (2 ст.)

С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра 8, изд. «Просвещение», 2010 г. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич, «Сборник задач по алгебре 8-9», изд. «Просвещение»,1992 г.