Обработка и представление результатов измерений

Оценка случайной погрешности измерений Полученные при непосредственном измерении величины неизбежно содержат ошибки. Величина ошибка складывается из систематической и случайной погрешностей. Повторяемость или воспроизводимость результатов измерений зависит от случайной ошибки. Чем больше случайная ошибка, тем больше разброс значений эксперимента около среднего значения. Систематическая погрешность отвечает за правильность измерения. Если присутствует систематическая погрешность, то это говорит об отклонении измерения от истинного значения.

Случайное событие – возможный исход эксперимента. Каждое случайное явление характеризуется какой-то степенью возможности, большей или меньшей. Эту возможность принято оценивать количественно некоторым числом называемым вероятностью события. Вероятность достоверного события равна единице, мене достоверного - доли единицы, не достоверного - нулю.

Пример Лаб.Содержание Al, % А0,0160,0150,0170,0160,019 В0,0170,016 0,018 С0,0150,014 0,015 D0,0110,0070,0080,010,009 Е0,011 0,0130,012 F 0,0140,013 0,015 О0,0110,0090,0120,010,012 Н0,011 0,0120,0140,013 I0,0120,0140,0150,0130,014 К0,0150,0180,0160,0170,016 L0,0150,0140,0130,014 М0,0120,0140,0120,0130,012

Построим частоту появления каждой концентрации Al в лабораториях

Наиболее общий способ задать вероятности тех или иных значений случайной величины любой природы состоит в использовании функций распределения. Они могут быть представлены в графической форме или в виде явной функциональной зависимости, где аргументом всегда является значение или набор значений случайной величины, а функция – вероятность этих значений или производная от нее. Существует два типа распределения: интегральное и дифференциальное. Рассмотрим дифференциальный тип распределения.

Виды функций распределения 1. Нормальный закон распределения Гаусса

Характер кривой полностью определяется двумя параметрами и. Математическое ожидание случайной величины x определяет центр рассеивания Дисперсия - меру рассеивания величины x относительно центра

Графический вид нормализованного распределения Гаусса

График показывает, что в области –σ < x < σ на графике сосредоточено 68% площади распределения, в области –2σ < x < 2σ на графике сосредоточено 95.4% площади распределения, в области –3σ < x < 3σ на графике сосредоточено 99.7% площади распределения («правило трех сигм»). Правило трех сигм: Нормально распределенная случайная величина практически никогда не отклоняется от своего значения более чем на 3σ.

Пример По нормальному распределению распределен рост людей, находящихся одновременно в большой аудитории. А именно: достаточно мало людей очень большого роста, и столь же мала вероятность встретить людей очень малого роста. В основном, легче встретить людей среднего роста – и вероятность этого велика.

Например, средний рост людей составляет, в основном, 170 см, то есть m = 170. Известно также, что σ = 20. Из графика нормального распределения следует, что доля людей с ростом от 150 до 190 (170 – 20 < 170 < ) составляет в обществе 68%. доля людей от 130 см до 210 см (170 – 2 · 20 < 170 < · 20) составляет в обществе 95.4%. доля людей от 110 см до 230 (170 – 3 · 20 < 170 < · 20) составляет в обществе 99.7%. Например, вероятность того, что человек окажется ростом меньше 110 см или больше 230 см составляет всего 3 человека на 1000.

2. Распределение Стьюдента Распределение случайной величины аналогичной распределению u, в которой вместо генерального стандартного отклонения используется выборочное стандартное отклонение среднего значения называется распределением Стьюдента. Вид t-статистики

Функция распределения Стьюдента зависит только от числа степеней свободы f = n–1 соответствующего стандартного отклонения. Чем меньше f, тем более пологий ход имеет кривая.

Характеристики случайной величины Генеральная совокупность состоит из всех мыслимых в данных условиях измерениях. Выборочная совокупность (выборка) включает небольшое число измерений. В соответствии с этими понятиями различают генеральные и выборочные характеристики случайной величины. При этом выборочная рассматривается как оценка генеральных характеристик.

Важнейшими из этих параметров являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание характеризует центр рассеяния, а дисперсия - меру рассеяния.

Таким образом, учет действия случайных факторов на измеряемую величину складывается из двух задач 1. Нахождение по данным измерений оценки генерального среднего. 2. Определение степени близости выборочного среднего к генеральному среднему, т.е. оценка случайной погрешности измерения Степень близости выборочного среднего к генеральному среднему оценивают величиной интервала, центром которого является среднее значение. Такой интервал называется доверительным, а вероятность попадания в него величины доверительной вероятностью.

Определение величины интервала, в котором может находится случайная величина

С помощью функции распределения можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал возможных значений:

Оценка доверительного интервала с помощью распределения Стьюдента