Комбинаторика и элементы теории вероятностей 11 класс Автор: Хайруллина Нина Николаевна учитель математики МБОУ «Октябрьская СОШ» Верхнеуслонский район Республика Татарстан

Теория вероятностей на ЕГЭ это очень простые задачи под номером В10. С ними справится каждый. Ведь для решения задачи B10 в варианте ЕГЭ понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей. Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Вы выиграли в лотерею случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте тоже случайное событие.

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Рассмотрим простой пример. Вы бросаете монетку. Орел или решка? Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием. Орел и решка два возможных исхода испытания. Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть. Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом. Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных). Вероятность четверки тоже 1/6 А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ. 1. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»? Заметим, что задачу можно сформулировать по- другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет. Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов? Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка Две монеты уже четыре исхода. Три монеты? Правильно, 8 исходов, т.к. Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми. Ответ: 0,375

Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут. Решение: новости не идут по 45 – 9 = 36 каналам. Тогда вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут, равна Ответ: 0,8

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Решение: Андрей выучил 60 – 3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный билет равна Ответ: 0,95

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси. Решение: вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна Ответ: 0,4

Аня с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать две кабинки, из них 5 – желтые, 6 – белые, остальные – красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Аня прокатится в красной кабинке. Решение: на колесе обозрения 22 – 5 – 6 = 11 красных кабинок. Тогда вероятность того, что Аня прокатится в красной кабинке равна Ответ: 0,5

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение: вероятность того, что пирожок окажется с вишней равна Ответ: 0,25

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинками известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным. Решение: вероятность того, что Вове достанется пазл с животным, равна Ответ: 0,6

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 – 5 = 995 не подтекают, значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна Ответ: 0,995

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Решение: не встречается вопрос по неравенствам в 25 – 10 = 15 билетах. Тогда, вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна Ответ: 0,6

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: в чемпионате принимает участие 20 – (8 + 7) = 5 спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна Ответ: 0,25

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение: дано 100 качественных сумок и восемь некачественных. Выберем из них одну случайным образом. Общее количество сумок, из которых будем выбирать: = 108. Это общее число возможных исходов. Количество благоприятных исходов равно количеству качественных сумок, то есть 100. Вероятность равна Округлим до сотых. Ответ: 0,93

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение: всего в соревнованиях принимает участие = 25 спортсменов, значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна Ответ: 0,36

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Решение: вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна Ответ: 0, 36

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Решение: всего на семинар приехало = 10 ученых, значит, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна Ответ: 0,3

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Решение: на третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России состоится в третий день конкурса, равна Ответ: 0,225

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение: в первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 – 1 = 25 бадминтонистами, из которых 9 – из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна Ответ: 0,36

Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков. Решение: число 6 можно получить пятью способами: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1. Из этих пяти случаев только два подходят под условие (1+5 и 5+1). Значит вероятность равна 2/5, то есть равна 0,4. Ответ: 0,4

Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка. Решение: чтобы выпало 8 очков за два броска, нужно чтобы при каждом бросании кубика число очков было больше 1. Получается, что 8 очков может выпасть только так: 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2. Т.е. число всех исходов равно 5, а благоприятных равно 2. Вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка, равна Ответ: 0,4

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: Таким образом, всего благоприятных исходов 4. Вероятность найдем, как отношение числа 4 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. Округлим до сотых. Ответ: 0,11

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. Округлим до сотых. Ответ: 0,14

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых. Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятный исход только один 1-й кубик – 1 очко, 2-й кубик – 1 очко. Общая сумма выпавших очков равна 2. Таким образом, всего благоприятных исходов 1. Вероятность найдем, как отношение числа 1 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. Округлим до сотых. Ответ: 0,03

Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых. Решение: посчитаем число неблагоприятных исходов. Выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких неблагоприятных исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Вероятность найдем, как отношение числа 30 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. Округлим до сотых. Ответ: 0,83

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Какие возможны исходы двух бросаний монеты? 1) Решка, решка. 2) Решка, орел. 3) Орел, решка. 4) Орел, орел. Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 2-го или 3-го события. Всего возможных исходов 4. Благоприятных иcходов – 2. Отношение 2/4 = 0,5. Ответ: 0,5

1. math/probability.html ЕГЭ Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование, – (ЕГЭ ФИПИ – школе) Список используемой литературы: