Раздел: Стереометрия. u К урокам по стереометрии учителя математики Варавва Н.А. МБОУ гимназия 72 имени академика В.П.Глушко города Краснодара

Начальные понятия стереометрии Аксиомы и следствия из них

u Вопросы к лекции. 1. Когда зародилась наука геометрия? 2. Что означает слово «геометрия»? 3. Какой ученый первым отразил геометрические понятия в своих сочинениях? 4. Как Вы понимаете, что такое аксиомы? 5. Что такое теоремы в Вашем понятии? 6. На какие разделы делится школьный курс геометрии? 7. Что изучает планиметрия? 8. Что изучает стереометрия? 9. Какие фигуры являются основными в пространстве, как они обозначаются? 10. Аксиомы планиметрии. 11. Аксиомы стереометрии. 12. Сформулируйте теоремы – следствия из аксиом стереометрии.

Евклид – древнегреческий математик

Планиметрия - это раздел геометрии, который изучает фигуры на плоскости. А стереометрия? Подумай и сформулируй!

* Э* Это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве. Шар Шар Шар Пирамида Пирамида Пирамида Куб Куб Куб Плоскость Плоскость Прямая Прямая

Задание 1 Цилиндр Пирамида Ромб Конус Прямоугольник Треугольник Шар Трапеция Параллелепипед Квадрат Куб Круг

Плоскость А Точка Прямая a A B α β А ВС D γ

ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ: ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ: I1I1I1I1 I1I1I1I1 uКuКuКuКакова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, А B С uиuиuиuи точки, не принадлежащие ей.D E a

I2I2I2I2 I2I2I2I2 uЧuЧuЧuЧерез любые две точки можно провести прямую, и только одну.

С1С1С1С1 С1С1С1С1 uКuКuКuКакова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей,А BC uиuиuиuи точки, не принадлежащие ей:D E F G α

С2С2С2С2 С2С2С2С2 uЕuЕuЕuЕсли две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку: KK

С3С3С3С3 С3С3С3С3 uЕuЕuЕuЕсли две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну: SS

Теорема 1. uЧuЧuЧuЧерез прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: u Пусть u Пусть а - данная прямая, и В- не лежащая на ней точка. аВ u Отметим u Отметим на прямой акакую-нибудь точку А. Такая точка существует по аксиоме I 1. А

uПuПuПuПроведем через точки А и В прямую b (аксиома I2) а ВАb

uПuПuПuПрямые а и b различны, а b так как точка B прямой bВне лежит на прямой а. Прямые а и b имеют общую точку А.А

Проведем через прямые а и b плоскость (аксиома С3). аbВ А 4 Э4 Э4 Э4 Эта плоскость проходит через прямую а и точку B.

Докажем теперь, что плоскость, п п п проходящая через прямую а а и и и и точку B,В Аb е е е единственна. Допустим, что существует другая, отличная от, плоскость проходящая через прямую а и точку B.

По аксиоме С2 плоскости и, будучи различными, пересекаются по прямой, а именно по прямой а. а Следовательно, любая общая точка плоскостей и лежит на прямой а. bВ А

uНuНuНuНо точка B,Вобщая для плоскостей и, заведомо не лежит на прямой а. Получили противоречие. Теорема доказана. аА

Теорема 2. uЕuЕuЕuЕсли две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема 3. uЧuЧuЧuЧерез три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Задание 3

По горизонтали: 1. На плоскости – прямоугольник, а в пространстве - … 2. Утверждение, требующее доказательств. 3. Одна из основных фигур в пространстве. 4. Утверждение, не требующее доказательств. 5. Основная фигура стереометрии. 6. Необходимый элемент геометрической задачи, теоремы. 7. На плоскости квадрат, а в пространстве… 8. Раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. 9. Тело в пространстве. 10. Без этого не может быть теоремы. По вертикали: 11. Круглое тело в пространстве. 12. Название буквы, обозначающей плоскость. 13. Раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. 14. Круглое тело в пространстве. 15. В пространстве – куб, а на плоскости - … 16. Наука, в переводе означающая «землемерие». 17. Круглое тело в пространстве. 18. Основная фигура стереометрии. 19. Ученый, который первым открыл науку геометрию. 20. Фигура на плоскости, у которой есть радиус и диаметр.

Задание 4. В пространстве задан куб. u Каким плоскостям (граням) принадлежит точка (вершина) А? u По какой прямой пересекаются плоскости AA 1 D 1 D и ABCD?

Итак, подведем итоги: 1. Когда зародилась наука геометрия? 2. Что означает слово «геометрия»? 3. Какой ученый первым отразил геометрические понятия в своих сочинениях? 4. Как Вы понимаете, что такое аксиомы? 5. Что такое теоремы в Вашем понятии? 6. На какие разделы делится школьный курс геометрии? 7. Что изучает планиметрия? 8. Что изучает стереометрия? 9. Какие фигуры являются основными в пространстве, как они обозначаются? 10. Аксиомы планиметрии. 11. Аксиомы стереометрии. 12. Сформулируйте теоремы – следствия из аксиом стереометрии.

Домашнее задание u Выучить опорный конспект. u Доказать теорему 2, теорему 3. Литература: Л.С.Атанасян. Геометрия, учебник для классов.