В6 элементы теории вероятностей ГБОУ школа 255 Учитель математики Булатова Л.А.

Теоретические основы События Классическое определение вероятности Прототипы задач ЕГЭ 2013 с решениями

Немного о событиях Событие – все, что происходит или не происходит в реальной жизни. Случайное событие – событие, которое в ходе испытания (опыта) может произойти, а может и не произойти. Несовместные события – события, которые не могут произойти одновременно. Событие, противоположное событию А, состоит в том, что в результате испытания событие А не произошло. Обозначение: Ā

Вероятность Наступление того или иного случайного события происходит с некоторой вероятностью. Вероятностью P случайного события A называют отношение числа всех благоприятных исходов m испытания к общему числу n всех исходов Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Р(А) + Р(Ā) = 1

Например, бросают монету (проводят испытание). Возможны два случая (исхода): монета упала орлом (случайное событие), монета упала решкой (случайное событие). Эти события несовместные, так как одновременно монета выпасть орлом и решкой не может. Если монета не выпала орлом, значит, она выпала решкой. Эти события противоположные. Найдем вероятность того, что монета выпала орлом. Всего исходов n = 2, благоприятный исход (монета выпала орлом) m = 1. Р = 1/2 Вероятность того, что монета выпала решкой, определяется аналогично и равна ½. Так как события противоположные, то сумма вероятностей этих событий равна 1. 1/2 + ½ = 1

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение. В результате бросания первой кости возможны 6 исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Для каждого из них возможны еще по шесть исходов при бросании второй кости. Общее количество исходов n= 6*6= 6 2 =36 8 очков можно получить в следующих случаях : Количество благоприятных исходов m= 5 Вероятность по определению равна P = 5/36 = 0,138… 0,14 1 кость2 кость

Задание B6 ( ) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых. Решение. Найдем общее количество исходов n. Для первой кости возможно 6 исходов – появление 1,2,3,4,5,6 очков, для каждого из которых по 6 при бросании второй и третьей кости, т.е. n = 6*6*6 = 6 3 = 216 Найдем количество благоприятных исходов m. 16 очков можно получить следующими способами: m = 6 Р = 6/216 =0,027… 0,03

36

Задание B6 ( ) В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Задачу можно переформулировать – бросают две симметричные монеты одновременно. Монета может выпасть орлом или решкой, всего два исхода. При бросании 2 монет общее количество исходов n = 2*2 = 2 2 = 4. о о о р р о о о Орел может выпасть ровно один раз в 2 случаях, т.е. благоприятных исходов m = 2 Р = 2/4 = 0,5

Задание B6 ( ) В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. Решение. Задачу можно переформулировать – бросают три симметричные монеты одновременно. Монета может выпасть орлом или решкой, всего два исхода. При бросании 3 монет общее количество исходов n = 2*2*2 = 8. ооо оор оро орр роо рро рор ррр Орел может выпасть ровно два раза в 3 случаях, т.е. благоприятных исходов m = 3 Р = 3/8 = 0,375

Задание B6 ( ) В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение. Общее количество исходов n = 2*2*2*2 = 2 4 = 16. Орел не выпадет ни разу, если все 4 раза выпадет решка. Это возможно в одном случае, т.е. благоприятных исходов m = 1 Р = 1/16 = 0,0625

Задание B6 ( ) В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. Решение. Общее количество спортсменок n = 50 Благоприятные исходы – спортсменка из Канады m = 50 – = 13 P= 13/50 = 0, 26 Замечание. В данной задаче не учитывается, какой по счету окажется выступающая спортсменка

Задание B6 ( ) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии. Решение. Общее количество спортсменов n = = 20 Спортсменов из Сербии m = 8 Р = 8/20 = 0,4

Задание B6 ( ) На семинар приехали 3 ученых из Швейцарии, 5 из Голландии и 4 из Франции. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым окажется доклад ученого из Швейцарии. Решение аналогично предыдущей задачи Порядок выступления не учитывается при решении.

Задание B6 ( ) Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов в первый день 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение (аналогично) Общее количество докладов n = 40 На третий день запланировано (40-16):2=12 докладов, т.е. m = 12 P= 12/40 = 0,3

Задание B6 ( ) Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким-либо теннисистом из России ? Решение. Ярослав Исаков может сыграть в паре с любым из = 45 участников. Т. е. n = 45 Среди них = 18 пар, в которых Ярослав Исаков сыграет с теннисистом из России. Т.е. m = 18 Р = 18/45 = 0,4

Задание B6 ( ) В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам. Решение. Всего билетов n = 20 Вопрос по логарифмам содержится в 11 из них. m=11 Вероятность того, что вопрос по логарифмам достанется ученику равна Р=11/20=0,55

Задание B6 ( ) В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам. Решение. Всего билетов n = 35 Билетов, которые не содержат вопрос по кислотам = 28, т.е. m=28 Вероятность того, что вопроса по кислотам не достанется ученику равна Р=28/35=0,8 Задачу можно решить по другому. Речь идет о п пп противоположных событиях. Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Найдем вероятность того, что в билетах содержится вопрос по кислотам Р1 = 7/35 = 1/5 = 0,2 Вероятность того, что выбранный билет не содержит вопрос по кислотам Р = 1- Р1 = 1 - 0,2 = 0,8

Задание B6 ( ) В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение. Всего поступило в продажу насосов n = 1400 Насосов, которые не подтекают 1400 – 7 = 1393, т.е. m=1393 Вероятность того, что насос не подтекает равна Р=1393/1400=0,995 Задачу можно решить по другому. Речь идет о противоположных событиях. Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Найдем вероятность того, что выбранный насос подтекает Р 1 = 7/1400=1/200=0,005 Вероятность того, что выбранный насос не подтекает равна Р = 1- Р 1 = 1 - 0,005 = 0,995

Задание B6 Фабрика выпускает сумки. В среднем из 120 сумок девять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Решение. Всего сумок n = 120 Качественных сумок (благоприятные исходы) 111, т.е. m=120-9=111 Вероятность того, что сумка окажется качественной равна Р=111/120=0,925 Другой способ Р1 = 9/120 = 0,075 Р = 1 – 0,075 = 0,925

Задание B6 ( ) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится девять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение. Всего сумок n = = 129 Качественных сумок (благоприятные исходы) 120, т.е. m=120 Вероятность того, что сумка окажется качественной равна Р=120/129=0,930… 0,93