Дискретные случайные величины Лекция 14

План лекции Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Случайная величина – это такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.

Дискретные случайные величины Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые заранее можно перечислить Примеры: - число выпадений орла при трех бросках монеты; - число попаданий в мишень при 10 выстрелах; - число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки.

Непрерывные случайные величины Примеры: - артериальное давление пациента; - масса тела пациента; - скорость биохимической реакции в клетке. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения случайной величины может задаваться в виде: таблицы графика формулы (аналитически).

Ряд распределения Как связаны друг с другом вероятности событий и случайные величины? Случайные события: два броска монеты Случайная величина: число выпадений орла Случайное число выпадений орла 012 вероятность Р1Р1 Р2Р2 Р3Р3

Расчет вероятности реализации определенных значений случайного числа Число выпадений орла равно 0 – события: РР – вероятность 0,5 *0,5 =0, 25 Число выпадений орла равно 1 – события: Р0 или ОР – вероятность 0,5 *0,5 + 0,5*0,5 = 0,5 Число выпадений орла равно 2 – события: 00 – вероятность 0,5 *0,5 = 0,25 Сумма вероятностей: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Ряд распределения случайного числа выпадений орла при двух бросках монеты

Вычисление значений ряда распределений случайного числа Задача. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4.За каждое попадание стрелку начисляется 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Вероятность событий: биномиальное распределение Обозначение события: попал – 1, не попал - 0 Полная группа событий: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Ряд распределения случайного числа выбитых очков события число очков вероятность события0,2160,4320,2880,064

Операции сложения и умножения случайных величин Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Операции сложения случайных величин Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0,060,310,420,190,02

Операции умножения случайных величин Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Функция F(х) распределения вероятностей (или накопленной вероятности) равна вероятности того, что случайная величина Х меньше наперед заданного числа x. F(x) = P(Х

График функции распределения

Функция распределения числа выбитых очков

Свойства функции распределения F(X) 0 F(x) 1 F(X)- неубывающая функция Вероятность попадания случайной величины X в интервал (a,b) равна разности значений функции распределения в правом и левом концах интервала: P(a X < b)=F(b)-F(a) F(- )=0 F(+ )=1

Основные характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n =

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата соответствующего отклонения случайной величины x i от ее математического ожидания: D(x) = M [x i – M(x)] 2 Среднее квадратическое отклонение

xixi PiPi x i P i (x i – M) 2 (x i – M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4-3,6) 2 = 0,160,08 50,10,50,5 (5-3,6) 2 = 1,960,196 ПРИМЕР: Рассчитать основные числовые характеристики для числа заказов препарата, поступивших за 1 час M(x)=3,6 D(x)=0,64

Расчеты М(x)=2 0,1+3 0,3+4 0,5+5 0,1=3,6 D(x)=(2-3,6) 2 0,1+(3-3,6) 2 0,3+(4- 3,6) 2 0,5+(5-3,6) 2 0,1= 0,64 Число заказов=3,6 0,8

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.