Применение производной при решении прикладных задач (2 урока) Применение производной при решении прикладных задач (2 урока) (Интегрированные уроки) (Интегрированные уроки) урок 1 повторительно-обобщающий урок 1 повторительно-обобщающий Урок 2 урок-практикум Урок 2 урок-практикум

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В.П. Ермаков В.П. Ермаков

Урок 1 повторительно-обобщающий Производная и ее применение при решении задач

Цели урока: Образовательные: Образовательные: Углубление понимания сущности производной путем применения ее для получения новых знаний; Углубление понимания сущности производной путем применения ее для получения новых знаний; Установление межпредметных связей; Установление межпредметных связей;

Воспитательные: Воспитательные: Воспитание познавательного интереса к учебному предмету Воспитание познавательного интереса к учебному предмету Воспитание у учащихся культуры мышления; Воспитание у учащихся культуры мышления;

Развивающие : Развивающие : Формирование умений строить логическую цепочку рассуждений; Формирование умений строить логическую цепочку рассуждений; Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию; Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию; Развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий Развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий

План урока: 1. Сведения из истории математики. 1. Сведения из истории математики. 2. Применение производной к исследованию функции. 2. Применение производной к исследованию функции. 3. Применение производной в решении прикладных задач. 3. Применение производной в решении прикладных задач. 4. Применение производной в решении задач на уроках физики. 4. Применение производной в решении задач на уроках физики.

ма к с и м у м не п р е р ы в н а я пр о и з в о д н а я ка с а т е л ь н а я ар г у м е н т ус к о р е н и е сл о ж н а я

Лагранж Жозеф Луи (1736 – 1813)

План исследования функции: 1) Область определения функции; 1) Область определения функции; 2) Четность или нечетность функции, периодичность; 2) Четность или нечетность функции, периодичность; 3) Точки пересечения графика с осями координат; 3) Точки пересечения графика с осями координат; 4) Промежутки знакопостоянства; 4) Промежутки знакопостоянства;

5) Промежутки возрастания и убывания; 5) Промежутки возрастания и убывания; 6) Точки экстремума и значения; функции в этих точках; 6) Точки экстремума и значения; функции в этих точках; 7) Исследуют поведение функции в окрестностях «особых» точек и при больших по модулю x; 7) Исследуют поведение функции в окрестностях «особых» точек и при больших по модулю x; 8) Построение графика функции. 8) Построение графика функции.

Исследование функции

Задача Исследуйте функцию и постройте её график: f(x)= 6(x-1) x 2 +3

Нули функции 1 x y -2

Промежутки знакопостоянства 1 x y

Промежутки возрастания (убывания) функции, критические точки. 1 x y f(x) +-+

x (-;- 1) (-1;3)3(3;) f'(x)+0-0+ f(x)-31 minmax

1 x y

Схема применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции при решении прикладных задач: 1) Задача «переводится» на язык функций; 1) Задача «переводится» на язык функций; 2)Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 2)Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

3) Выясняется, какой практический смысл( в терминах первоначальной задачи) имеет полученный результат (на языке функций). 3) Выясняется, какой практический смысл( в терминах первоначальной задачи) имеет полученный результат (на языке функций).

Задача. Площадь прямоугольника 64 см 2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим? Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим? a b S=64cм 2 P- наименьший Найти: a и b?

Применение производной в физике Применение производной в физике

Механическое движение Механическое движение

Уравнение, описывающее движение тела X = x 0 + ט 0 t + аt 2 / 2 X = x 0 + ט 0 t + аt 2 / 2

Производная от координаты по времени есть скорость. ט(t ) = X / (t )

Производная от скорости по времени есть ускорение а = ט / (t ) = X // (t ) а = ט / (t ) = X // (t ) (т.е вторая производная от координаты по времени).

Задача 1 Дано: x(t)= t Найти: ט(t) ; а(t) -? Задача 1 Дано: x(t)= t Найти: ט(t) ; а(t) -?

Решение: 1. ט (t)=x=( t)= (-270)+(12t)=0+12=12 м/c (-270)+(12t)=0+12=12 м/c 2. a(t) = ט =x=(12)=0 м/с

Задача 2 Дано: x(t) = - 5t 3 + 2t 2 + 5t Найти: ט = ט (t ); а = а (t ) а = а (t )

Решение: 1. ט(t)=x=(-5t 3 )+(2t 2 )+(5t)= -15t 2 +2*2t+5*1 => -15t 2 +2*2t+5*1 => ט(t)=-15t 2 +4t+5 ט(t)=-15t 2 +4t+5 ( уравнение, описывающее скорость движения тела). ( уравнение, описывающее скорость движения тела). Если t=0, то ט(0)=5 м/с t=1с, то t=1с, то ט(1)= =-9 м/с ט(1)= =-9 м/с

2. a(t)=ט=(-5t 2 )+(4t)+(5)= -30t t+ 4 a(t)=-30t+ 4 a(t)=-30t+ 4 ( уравнение, описывающее ускорение тела) ( уравнение, описывающее ускорение тела) Если t=0 c, то a(0)=4 м/c 2 t=1 с, то t=1 с, то а(1)=-30+4=-26 м/c 2 а(1)=-30+4=-26 м/c 2

-это колебания, происходящие по закону sin или cos.

X(t)= x max * sin(w*t+ φ 0 )

x max – амплитуда колебаний, [ м ] φ - начальная фаза колебаний [ 1цикл=2π рад.=360 ° ] ω- циклическая частота [ Гц ] φ 0 –начальная фаза колебаний t- время колебаний [ с ] 3,14 3,14 T- период колебаний [ с ] ω

Определить по графику период, амплитуду и частоту колебаний. Найти максимальную силу, действующую на тело массой 150г. Задача

Из графика: Из графика: x max = 0,4(м); Т=0,4(с); φ 0 =0. x max = 0,4(м); Т=0,4(с); φ 0 =0. ν = 1/Т = 1/0,4 = 2,5(с -1 ) ν = 1/Т = 1/0,4 = 2,5(с -1 ) Х= 0,4 sin(2 π * 2, 5t) = 0, 4 sin5 π t V= x= (0, 4 sin5 π t)= 2π cos5 π t, где V max = 2π = 6,28 ( м/с)

а =V=( 2π cos5 π t)= = -2π 5 π sin5 π t = -98,6 sin 5π t где a max = -98,6 м/с 2 - амплитуда ускорения F = ma max F = 0,1 5 *(- 98,6 )= - 14,8 [H] Ответ: x max = 0,4(м); Т=0,4(с); ν=2,5с -1 ; F = - 14,8 [H]. ν=2,5с -1 ; F = - 14,8 [H].

Формулы из физики и экономики, где используется производная: υ(t) = х' (t) – скорость a(t) = υ'(t) - ускорение J(t) = q'(t) - сила тока C(t) = Q' (t) - теплоемкость d(l) =m' (l) - линейная плотность K(t) = l' (t) - коэффициент линейного расширения

ω(t) = φ' (t) - угловая скорость а(t) = ω' (t) - угловое ускорение N(t) = A'(t) - мощность П(t) = υ ' (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции J(x) = y ' (x) - предельные издержки производства, где y – издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Домашнее задание: Домашнее задание: 1) 296 (в) 1) 296 (в) 2) 307, 309 2) 307, 309 3) 301 (в)*; 317* 3) 301 (в)*; 317*