Работу выполнил: ученик 8а класса Петеян Сасун. ГОУ СОШ «С. Тальменка.» 2004г.

- познакомиться с разложением многочлена на множители. - познакомиться с разложением многочлена на множители. 1.Установить связь между корнями уравнения и его коэффициентами. 2. Научиться раскладывать квадратный трёхчлен на квадратный трёхчлен намножители.

Таинственна несхожесть лиц, И души многих поколений Пленяет таинство страниц, Которые оставил гений. Р. Гамзатов. \ Таинственность \. Таинственна несхожесть лиц, И души многих поколений Пленяет таинство страниц, Которые оставил гений. Р. Гамзатов. \ Таинственность \.

Над этим вопросом работали мудрецы Древнего Вавилона, и только Франсуа Виет в ХVI веке первым догадался обозначить буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Недаром Виета часто называют « Отцом символической алгебры.» Биография.

Полученные Виетом системы равенств, связывающие корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами, теперь называются теоремой Виета. Т.е. если х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 + pх + q = 0, то справедливы формулы х 1 + х 2 = - p х 1 * х 2 = q

х 1 + х 2 = - p - Д + - p + Д = - 2p = - p х 1 * х 2 = - p - Д * - p + Д = (- p) 2 – ( Д) 2 = = p 2 – (p 2 – 4 q) = 4 q = q, Д = p 2 – 4q = p 2 – (p 2 – 4 q) = 4 q = q, Д = p 2 – 4q Подсказка.

Если числа p, q, х 1, х 2 таковы, что х 1 + х 2 = - p, х 1 х 2 = q, х 1 х 2 = q, то х 1 х 2 корни то х 1 х 2 - корни уравнения х 2 + pх + q = 0.

Каким образом корни уравнения используются при разложении квадратного трёхчлена на множители? Подсказка

Если х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, то при всех х справедливо равенство. ах 2 + bх + с = а(х – х 1 )(х-х 2 )

а( х – х 1 ) ( х – х 2 ) = а( х 2 –х * х 2 – х * х 1 + х 1 * х 2 )= = ах 2 – ах * х 2 – ах * х 1 + ах 1 * х 2 = = ах 2 – а( х 2 + х 1 ) * х + ах 1 * х 2 ; но х 1 + х 2 = - b/а, х 1 х 2 = с/а. Тогда а( х – х 1 ) ( х – х 2 ) = = ах 2 – а(- b/а )х + а * с/а = = ах 2 + bх + с. а( х – х 1 ) ( х – х 2 ) = а( х 2 –х * х 2 – х * х 1 + х 1 * х 2 )= = ах 2 – ах * х 2 – ах * х 1 + ах 1 * х 2 = = ах 2 – а( х 2 + х 1 ) * х + ах 1 * х 2 ; но х 1 + х 2 = - b/а, х 1 х 2 = с/а. Тогда а( х – х 1 ) ( х – х 2 ) = = ах 2 – а(- b/а )х + а * с/а = = ах 2 + bх + с.

1.1. Использование формул: а 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b) (а ± b) а 2 – b 2 = (а + b) ( а – b) а 3 ± 3а 2 b + 3аb 2 ± b 3 = (а ± b) (а ± b) (а ± b) а 3 ± b 3 = (а ± b) (а 2 ± аb + b 2 ) ах 2 + bх + с = а(х – х 1 ) (х – х 2 ) 2. Вынесение общего множителя за скобки. 3. Способ группировки.

х 3 + 2х 2 – 6 = = х 3 + (3х 2 – х 2 ) – 3х – 2х – 6 = = х 2 (х + 3) – х (х + 3) – 2 (х + 3) = = (х + 3) (х 2 – х – 2) = = (х + 3) (х 2 + х – 2х -2) = =(х + 3) (х(х + 1) – 2 (х + 1)) = = (х + 3) (х + 1) (х – 2).

1) х 3 – 12х + 16 = 0. 2) х 5 – 4х 3 + 2х 2 + 3х – 2 = 0. 3) х 3 + 3х 2 + 7х + 5 = 0. 4) (х 2 + х) 2 + 4х 2 + 4х – 12 = 0. Подсказка

1) В первом уравнении два корня из трёх 1) В первом уравнении два корня из трёх окажутся равными. окажутся равными. 2) Во втором уравнении выполнить разложение 2) Во втором уравнении выполнить разложение на множители до конца не удастся. на множители до конца не удастся. Почему? 3) В третьем уравнении существуют 3) В третьем уравнении существуют повторяющиеся корни, повторяющиеся корни, но зато оно пятой степени! но зато оно пятой степени! 4) В четвёртом уравнении стоит подумать – раскрывать 4) В четвёртом уравнении стоит подумать – раскрывать скобки или нет. скобки или нет.

Многочлен ах 2 + bх + с, Многочлен ах 2 + bх + с, где а = 0, где а = 0, называется квадратным трёхчленом

Квадратное уравнение вида Квадратное уравнение вида х 2 + pх + q = 0 х 2 + pх + q = 0 называется приведённым. называется приведённым. Всякое квадратное уравнение Всякое квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 ах 2 + bх + с = 0 можно привести к приведённому виду, можно привести к приведённому виду, разделив обе части уравнения на а = 0, разделив обе части уравнения на а = 0, x 2 + b/ax + c = 0. x 2 + b/ax + c = 0.

При разложении многочлена любой степени на множители нужно при проверке воспользоваться теоремой Виета так, чтобы при составлении групп для разложения на множители появились числа – делители свободного члена.

Алимов Ш. А, Колягин Ю. М. и др. Алгебра 8 - М.: Просвещение, Глейзер Г. И. История математики в школе. - М.: Просвещение, Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. / Алгебра 8 - М.: Просвещение, Петров И. С. Математические кружки. - М.: Просвещение, Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. - М.: Просвещение, 1990.