Случайные величины

Схема Бернулли Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов). –Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания. –Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях. Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р

Формула Бернулли Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит к-раз:

Схема Бернулли Пример. Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов 5 выдержат испытания. Решение. По формуле Бернулли

Схема Бернулли Асимптотические формулы. 1. Формула Пуассона. Пусть число испытаний n - велико ( n ) Вероятность р события А – мала ( р0 ) Причем Тогда при любом фиксированном к Закон редких событий

Схема Бернулли Пример 1. Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток оказалось поврежденными: а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток. Решение. Вероятность того, что плитка окажется поврежденной, р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5

Схема Бернулли 2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n) Вероятность р события А – не очень мала ( 0

Схема Бернулли 3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n) Вероятность р события А – не очень мала ( 0

Схема Бернулли Пример 2. Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого сорта. Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта. Решение. n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1. По локальной теореме Муавра –Лапласа:

Схема Бернулли Пример 3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Производится 100 выстрелов. Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не менее 75 раз. Определить вероятность выполнения норматива. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Задача. Производится n независимых однородных испытаний. В каждом испытании событие А может наступить с вероятностью р, где 0

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Тогда Анализ :

Случайная величина Определение. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. –Обозначения: Пример 1. –1. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.

Случайная величина Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, событие А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании., если при i-ом испытании событие А наступило, и, если оно не наступило. Случайная величина - число наступлений события А в схеме Бернулли.

Случайная величина дискретнаянепрерывная

Случайная величина Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Значения непрерывной случайной величины – принадлежат интервалу (конечному или бесконечному).

Случайная величина Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. Пусть Х – число наступлений события А. Х={ 0,1,2,…,п } – дискретная случайная величина. Пример 4. Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А. Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А. ξ={0,1,2,3,…} –дискретная случайная величина. Обзор

Случайная величина Пример 5. Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ]. Х – координата точки попадания. Х є [ а,в] – непрерывная случайная величина. Пример 6. Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина. μ є ( 0, )

Способы задания случайной величины Функция распределения и ее свойства. Определение. Функция, равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения: Свойства. 1. Область определения F(x): х є (-, ). 2. Область значений : 0 F(x) Функция F(x) – неубывающая: Вероятность попадания в интервал (а,в):

Закон распределения дискретной случайной величины Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимает случайная величина. Способы задания: Таблично Графически Аналитически ξ… Р…

Закон распределения дискретной случайной величины Примеры. 1. Биномиальный закон ( в схеме Бернулли): 2. Равномерное распределение ( в классической схеме): 3. Распределение Пуассона:

Дискретная случайная величина Основное свойство закона распределения: Функция распределения – кусочно- непрерывная функция. График функции распределения – ступенчатая фигура. х 1

Непрерывная случайная величина Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду производную F'(x)=f(x). В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными. Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.

Свойства плотности распределения

Непрерывная случайная величина Пример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти функцию распределения F(x) и плотность f(x). Решение. Из определения: Обзор

Непрерывная случайная величина

Числовые характеристики случайных величин Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называется число, равное

Числовые характеристики случайных величин Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное

Числовые характеристики случайных величин Свойства математического ожидания

Числовые характеристики случайных величин Пример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти математическое ожидание Решение. Из определения:

Числовые характеристики случайных величин Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Числовые характеристики случайных величин Свойства дисперсии Следствие.

Числовые характеристики случайных величин Доказательство.

Числовые характеристики случайных величин Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ называется число Свойства

Числовые характеристики случайных величин Пример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Решение. Из формулы:

Обзор стандартных распределений Дискретные случайные величины Биномиальное Биномиальное распределение Распределение Распределение Пуассона Геометрическое Геометрическое распределение

Обзор стандартных распределений Непрерывные случайные величины Равномерное Равномерное распределение Показательное Показательное распределение Нормальное Нормальное распределение

Биномиальное распределение ξ =(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). Закон распределения: Пример

Распределение Пуассона ξ =(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:

Геометрическое распределение ξ =(0,1,2,…,n,…) Закон распределения: Пример

Равномерное распределение Плотность распределения: Функция распределения: 1 b b a a Пример

Показательное распределение Плотность распределения: Функция распределения: 0 1 0

Нормальное распределение Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и σ, если плотность распределения Вероятностный смысл параметров:

Нормальное распределение График плотности распределения. Нормированное распределение. Кривая Гаусса х

Нормальное распределение Функция распределения.

Нормальное распределение Вероятность попадания в интервал. Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)

Нормальное распределение Правило «3σ». Практически достоверно, что

Нормальное распределение Пример. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ? Решение.

Функции случайного аргумента Определение. Если любому значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то говорят что Y – функция случайного аргумента Х: Пример. Х – случайная величина. Y=X² или Y = (Х-а)² -функции от Х.

Функции случайного аргумента

Пример 1. Y=Х² p0,30,20,10,4 Х p0,30,20,10,4

Функции случайного аргумента Пример 2. Y=Х² p0,30,40,20,1 X p0,10,20,30,20,1

Системы случайных величин В случае, когда результат стохастического эксперимента определяется несколькими случайными величинами, то говорят, что имеется система случайных величин: Примеры. 1. Заготовка имеет 3 размера – »длину, ширину и высоту – случайные величины: »2. при моделировании бюджета одной семьи » затраты – случайный вектор: на питание, на одежду, »обувь, на транспорт, духовные потребности. - (случайный вектор), - компоненты

Системы случайных величин Двумерные случайные величины Дискретные - закон распределения X Y y 1 y 2 …. y m x 1 p 11 p 12 …. p 1m x 2 p 21 p 22 …. p 2m …. x n p n1 p n2 …. p nm

Системы случайных величин Непрерывные - функция распределения »- вероятность попадания в бесконечный угол x y (x,y) Свойства не убывает по каждому аргументу

Системы случайных величин Плотность распределения вероятностей случайного вектора. Определение. Плотностью распределения случайного вектора называют Свойства плотности

Системы случайных величин Зависимость случайных величин. Случайный вектор ; - плотность, - функция распределения. Определение. Случайные величины Х и Y (компоненты случайного вектора) называются независимыми, если Следствия для независимых случайных величин

Системы случайных величин Ковариация. Коэффициент корреляции. Определение 1. Ковариацией случайных величин X и Y называют число Определение 2. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число

Системы случайных величин Свойства. 1. Если X и Y – независимые случайные величины, то Если X и Y – линейно зависимые, то есть, то [обратное неверно]

Моменты случайной величины Определение 1. Начальным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Определение 2. Центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание :

Моменты случайной величины Определение 3. Абсолютным центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : –Частные случаи: 1) М(Х)=а – начальный момент 1-го порядка ; 2) М((Х-а))=0 – центральный момент 1-го порядка; 3) М((Х-а)²)=D(X ) – центральный момент 2-го порядка.

Предельные теоремы Закон больших чисел Центральная предельная теорема

Неравенство Чебышева Пусть Х – случайная величина; Следствие: Чем меньше дисперсия случайной величины Х, тем меньше вероятность отклонения Х от а на большую величину. Правило «3σ» (для любой случайной величины):

Закон больших чисел Определение. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине Х, если –Обозначение:

Закон больших чисел Теорема Чебышева. Пусть - попарно независимые случайные величины; Среднее арифметическое независимых случайных величин при n – больших - неслучайная величина.

Закон больших чисел Теорема Хинчина (1929 г.). Пусть - независимые случайные величины, Тогда При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. –Практический смысл: при измерении физической величины в качестве точного значения берут среднее арифметическое нескольких измерений.

Центральная предельная теорема Теорема. Пусть - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией σ². Пусть - нормированные случайные величины. Тогда то есть

Центральная предельная теорема Теорема Ляпунова (1901 г.). Пусть - независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент. Пусть Тогда, если, то и

Центральная предельная теорема Распределение - асимптотически нормально с параметрами Вклад каждой отдельной случайной величины в общую сумму – малый.

Центральная предельная теорема Следствие: нормальный закон занимает особое место в теории ошибок измерений. Ошибку измерения можно рассматривать как сумму большого числа независимых слагаемых, каждое из которых дает малый вклад в общую сумму. Распределение ошибки измерений близко к нормальному закону. Замечание ( Липман ). – Каждый уверен в справедливости закона ошибок: Экспериментаторы – потому что они думают, что это математическая теорема, Математики – потому что они думают, что это экспериментальный факт.

Центральная предельная теорема Пример. В геодезии причинами возникновения ошибок являются –влияние внешних условий –неточности изготовления и юстировки приборов –неточности выполнения измерений наблюдателем При измерении горизонтального направления –многократное преломление лучей –неравномерное освещение объекта –неустойчивость сигнала –вращение прибора вследствие нагревания солнцем («кручение») –неустойчивость теодолита –температурные и другие изменения в приборе –ошибки юстировки –ошибки разделения горизонтального круга –личные ошибки наблюдателя –и т.д. Опыт подтверждает - распределение ошибки измерений близко к нормальному закону.