Теорема косинусовТеорема синусов Соотношения между сторонами и углами треугольника Решения треугольников Нажатием мышки выберите нужную тему. Тест РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. A B C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α ! ! Далее

Дано: Найти: Решение: AC = 5 м BC - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = 6 ² + 5 ² ,6 BC ² = BC ² = 25 BC = 5 Ответ: 5 м. BC = ? AB = 6 м cos = 0,6

BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos Далее Дано: Найти: Решение: AC = 5 м cos - ? A B C Ответ: 0,2. cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / cos = ( ) / 60 cos = 0, AB = 6 м BC = 7 м

Дано: Найти: Решение: BC = 4 м AD - ? BD - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м. D AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6 AD = ( – 16 ) / 12 AD = 3,75 BD = AB - AD BD = 6 – 3,75 = 2,25 Возврат в меню AC = 5 м AB = 6 м

Далее Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB C ! ! AB C a/sin = b/sin β = c/sin γ a b c a b c β β γ γ

Дано: Найти: Решение: ABC AB - ? Ответ: b sin γ / sin ( + γ) Далее A B C b γ b / sin β = AB / sin γ AB = b sin γ / sin β AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ)) AB = b sin γ / sin ( + γ) AC = b, γ точка B недоступна

Возврат в меню Дано: Найти: Решение: = 45° b - ? A B C a b c Ответ: 3 6 / 2 a/sin =b/sin β b= a sin β/ sin b = 3 sin 60 ° / sin 45 ° β b = 3 ( 3 / 2) / (1 / 2 ) b = 3 6 / 2 β = 60° a = 3 м

b ! Далее Теорема 3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. AB C AB C a a b β β Если > β, то a > b ! Соотношения между сторонами и углами треугольника

C Далее Дано:Решение: ABC - равнобедренный A = C > 60° A B Значит, A + C > 120° B = 180° - ( A + C)

Возврат в меню Дано: Найти: Решение: AC = 18 см Ответ: A - острый. Каким является А – острым, прямым или тупым? A B C Так как AB > AC, то C > B То есть С > 50° Тогда B + C > 100° A = 180° - ( B + C) > 80° A - острый 50° AB = 20 см B = 50° ? Соотношения между сторонами и углами треугольника

c = 20 (sin 45° / sin 75°) 20 (0,7 / 0,966) 14,6 Далее Дано: Найти: Решение: a = 20 см Ответ: 45°; 17,9 см; 14,6 см. γ - ? b - ? c - ? γ = 180° - (β + ) γ = 180° - (75° + 60°) = 45° b = a (sin β / sin γ) с a b β γ b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966) 17,9 c = a (sin γ / sin ) a / sin = b / sin β = c / sin γ = 75 ° β = 60°

γ Далее Дано: Найти: Решение: Ответ: 28 см; 39°; 11°. cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 11° a = 7 м a b β c - ? β - ? c - ? β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°) 39° c = a ² + b ² - 2 a b cos γ c = – (- 0,643) 28 b = 23 м γ = 130°

Далее Дано: Найти: Решение: a = 7 см Ответ: 54°; 13°; 113°. - ? β - ? γ - ? cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 54° γ 180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113° cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2 a c cos β = ( – 4) / ,973 β 13° γ a b β c b = 2 см c = 8 см