Задача Наполеона Работа Михайлова Ивана, ученика 10 класса МОУ СОШ 2 г.Ядрин Руководитель Гаврилова Ю.И., учитель Математики МОУ СОШ 2 г.Ядрин

Цель работы – изучить геометрические задачи, составленные и решенные Наполеоном. Задачи: 1) изучить имеющуюся литературу по данной теме; 2)доказать задачу императора с использованием геометрических преобразований ; 3) рассмотреть современные способы доказательств задачи Наполеона; 4)Разгадать головоломки Наполеона.

На сторонах произвольного треугольника АВС внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

Пусть M, N, K – центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки M, N, K с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой. Т.к. M, N, K – центры равносторонних треугольников, то АМ = МВ, BN = NC, CK = KA; < AMB = < BNC = < CKA = 120o, а их сумма равна 360о. Выделим шестиугольник AMBNCK, а внешние к нему выпуклые четырехугольники отбросим. Получим фигуру

Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники МАК и NCK, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник MDNK. Отрезок MN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DMK равны 120 градусам каждый. Поэтому углы NMK и MNK равны 60 градусам каждый. Следовательно, треугольник MNK – равносторонний, что и требовалось доказать.

Головоломка Наполеона Подсказка Обратите внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 90, 108, 126, 144о. Заметили - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка?