Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, пусть возможные значения случайной величины X полностью заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Нет. Необходим общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x). Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Отсюда определение: случайную величину называют непрерывной, если ее ф-ция распределения есть непрерывная кусочно- дифференцируемая ф-ция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: 0 F(x) F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2 ) F(x 1 ), если х 2 > х Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале: P (a

Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х -1 F(x) = х/4+1/4 при Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию, F(x) = x/4 + 1/4, то F(2) - F(0) = (2/4 + 1/4) – (0/4 + 1/4) = 1/2. Итак, P(0

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х 2 F(x) = 0,5х -1 при 2 4. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.

а) P(X

Пример 3. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х 0 F(x) = х 2 при 0 1. Найти вероятность того, что в результате 4-х независимых испытаний величина Х ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном испытании, равна P(0,25

4. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна 0. Таким образом, имеет смысл рассматривать вероятность попадания случайной величины в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Напр., интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х 1 ) означает, что событие X=х 1 невозможно (если не ограничиваться классическим определением вероятности). В результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х 1.

5. 5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то 1) F(х) = 0 при х а; 2) F(х) = 1 при х b. ] Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: Lim F(х) = 0; Lim F(х) = 1. х- х+

График функции распределения ] График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, y=1 (1 свойство). ] При возрастании х в интервале (a; b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (2 свойство).

] При х а ординаты графика равны 0; при х b ординаты графика равны 1. 0 F(x) 1 1 b x a

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Способ задания непрерывной случайной величины с помощью ф-ции распределения не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую ф-цию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) – первую производную от ф-ции распределения F(х): f(х) = F'(х). Отсюда функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 < х π/2 1 при х > π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х < 0 f(х) = F'(x) = cosx при 0 < х π/2 1 при х > π/2.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а; b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: P(а

Геометрический смысл: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение xЄ(а; b), численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми х = а и х = b. f(x) xab

Свойства плотности распределения Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x) 0. График плотности распределения называют кривой распределения Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен 1. f(x)dx = 1. -

Геометрический смысл: вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат (а; b), то f(x)dx = 1. b а

Вероятностный смысл плотности распределения Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Для достаточно малых x. F(x + x) - F(x) f(x)x. Т.к. разность F(x + x) - F(x) определяет (см. выше) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; x + x), то эта вероятность, след-но, приближенно равна произведению плотности вероятности в т. х на длину интервала х.

Конец