Переход от дискретной формулы к непрерывной: сумму заменяют интегралом; значения x i, i = 1, …, n заменяют переменной x R; P(X = x i ) заменяют f(x)dx.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Определение 5.1 Случайная величина - это величина, которая в результате эксперимента принимает из множества своих возможных знчений одно зараннее неизвестное.

Advertisements

Числовые характеристики (параметры) распределений случайных величин.

Найдем вероятность попадания в интервал (x, x + x): P(x X x + x)=F(x + x) - F(x) F(x). § 6. Непрерывная случайная величина. Функция плотности. Пусть X.

Числовые характеристики случайной величины. Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности.

Точность оценок случайных величин. Определение термина Случайная величина: в теории вероятностей, величина, принимающая в зависимости от случая те или.

Количественные характеристики случайных переменных Математическое ожидание (среднее значение) Математическое ожидание (среднее значение) Дисперсия и среднее.

Теория вероятностей и математическая статистика Занятие 5. Основные числовые характеристики случайных величин Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н.,

Анализ случайных величин. Опр. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее,

1.Основные понятия случайной величины 1.1 Классификация случайных процессов.

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 15. Тема: Случайные величины и их числовые характеристики.

23 сентября 2012 г.23 сентября 2012 г.23 сентября 2012 г.23 сентября 2012 г. Лекция 9. Непрерывные распределения 9-1. Функция распределения 9-2. Плотность.

Непрерывные случайные величины Лекция 15. План лекции Непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функции распределения и плотности распределения.

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х,

Законы распределения случайных величин. Опр. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь.

Примеры Вырожденное распределение (Распределение константы) Распределение Бернулли (Распределение индикатора события)

Математическая статистика Случайные величины. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение,

§ 8. Классические статистические распределения. Непрерывные случайные величины 1. Равномерное распределение Пусть X ~ U(a, b) – равномерно распределена.

Оценка неизвестных параметров распределений Точечное оценивание.

Нормальное распределение Тема 1. Вопросы для обсуждения 1.Случайная величина и ее распределение 2.Математическое ожидание и его оценка 3.Дисперсия и ее.

Лекция 3 Основные понятия теории вероятности. Опыт Событие Переменная величина.

Транксрипт:

Переход от дискретной формулы к непрерывной: сумму заменяют интегралом; значения x i, i = 1, …, n заменяют переменной x R; P(X = x i ) заменяют f(x)dx P(x). Среднее значение непрерывной случайной величины Определение 7.1 Средним значением непрерывной сл.в. X с плотностью распределения f(x) называют число § 7. Числовые характеристики случайных величин. Замечание: для дискретной сл.в. X среднее значение это число где x i - значения X и p i = P( X = x i ) их вероятности. x+ x x f(x) f(x+ x) S = P(X) f(x)dx

Свойства среднего значения: действуют все свойства, верные для дискретного случая Доказательство: докажем свойство 2, которое говорит, что константа выносится вперед из под знака среднего значения. Другие свойства доказываются аналогично дискретному случаю.

Для любого типа сл.в. X дисперсией называют число DX = E(X EX) 2. b) По свойству DX = EX 2 - (EX) 2 : a) По определению: Дисперсия непрерывной случайной величины Формулы вычисления дисперсии в непрерывном случае: Эту формулу применяем на практике для вычисления дисперсии как более простую.

Доказательство: свойства были доказаны в параграфе 5 исходя из общей формулы дисперсии DX = E(X EX) 2 и верны для случайных величин любого типа. Число называют стандартным отклонением сл.в Х любого типа.

Определение 7.2 отклонением сл.в. Х или центрированной случайной величиной называют сл.в. X – EX, среднее значение которой равно нулю. Доказательство : вычислим среднее значение центрированной сл.в., применяя свойства среднего значения:

Определение 7.3 Стандартной или стандартизированной случайной величиной называют сл.в. среднее значение которой равно нулю и дисперсия равна 1. Доказательство : вычислим среднее значение стандартизированной сл.в., учитывая, что она является также центрированной сл. величиной : Вычислим дисперсию стандартизированной сл.в., применяя свойства дисперсии:

Пример. Равномерное распределение на отрезке [a, b]. Если X ~ U(a, b), то Решение: плотность равномерного распределения определяется формулой Вычислим среднее значение, учитывая только ненулевые значения f: Вычислим дисперсию DX = EX 2 - (EX) 2. Найдем прежде всего EX 2 : Тогда:

Определение 7.4 p-квантилем непрерывной сл.в. X называют число x p, для которого верно равенство F(x p ) = P(X x p ) = p, 0 p 1. xpxp F(x p ) На графике функции распределения: xpxp На графике функции плотности:

Если p = 0.5, то значение x 0.5 называют медианой. Обозначаем: MeX. Определение 7.5 Медианой MeX называют значение непрерывной сл.в. X, для которого P(X MeX) = P(X MeX) = 0.5 или F(MeX) = 0.5. Т.о. равновероятно то, что сл. величина принимает значения меньше или больше медианы. MeX F(MeX) MeX На графике функции распределения:На графике функции плотности:

В общем случае MeX EX. Но если плотность симметрична относительно точки a, то EX = MeX = a. Симметричное распределение определяется равенством: f (EX - x) = f (EX + x). EX=MeX EX + xEX - x f(EX + x) f(EX - x)

Для любого (дискретного) распределения MeX - величина, для которой P(X MeX) 0.5, P(X MeX) 0.5. Величину x 0.25 называют нижним квартилем и величину x 0.75 – верхним квартилем, т.о. P(X x 0.25 ) = 0.25 ja P(X x 0.75 ) = x 0,25

Определение 7.6 модой MoX сл.в. X называют такое значение Х, для которого Для симметеичного одномодального распределения: EX = MeX = MoX EX = MoX = MeX. Для дискретного распределения: MoX = 2 – наиболее вероятное значение.

Определение 7.7 моментом m – го порядка сл.в. X называют среднее значение сл.в. X m или M m X = EX m и центральным моментом m – го порядка называют среднее значение сл.в. (X - EX) m или Свойства моментов: 1. M 1 X = EX. 2. M 2 X = EX DX = EX 2 – (EX) 2 = M 2 X – ( M 1 X) M 2 X = E(X - EX) 2 = DX.

Пример. Функция распределения сл.в. X Начертить график F(x) и найти вероятности: P(X 1), P(X 1), P(X 0), P(X 0), P(2 X 3), P(1 X 3), P(1 < X 3), P(1< X 2). Найти f(x), EX, DX, MeX, MoX.

Сл. величина смешанного типа. X = 1 – точка разрыва. P(X < 1) = F(1) = ½, P(X = 1) = F(1+) – F(1) = ¾ - ½ = ¼, P(X 1) = P(X < 1) + P(X = 1) = F(1) + ¼ = ½ + ¼ = ¾, P(X > 1) = 1 - P(X 1) = 1 – ¾ = ¼, P(X 1) = 1 - P(X < 1) = 1 – ¼ = ¾, P(X 0) = F(0) = 1/8, P(X 0) = 1 – P(X < 0) = 1 – F(0) = 1 - 1/8 = 7/8, P(2 X 3) = F(3) – F(2) = 3/8 + ½ - ¾ = 1/8, P(1 X 3) = P(X = 1) + P(1 < X 3) = ½ + F(3) – F(1+) = ½ + 3/8 + ½ - ¾ = 5/8, P(1 < X 3) = F(3) – F(1+) = 3/8 + ½ - ¾ = 1/8, P(1< X 2) = F(2) – F(1+) = ¾ - ¾ = 0.

Сл. величина смешанного типа. Найдем f(x): P(X=1)=1/4 Функция плотности не непрерывна. MeX = 1, т.к. F(1) = ½ с одной стороны и P(X 1) 0.5 и P(X 1) 0.5. MoX = 1 – точка максимума функции плотности.

P(X=1)=1/4 Функция плотности: Найдем EX: Тогда: Вычислим дисперсию DX = EX 2 - (EX) 2. Найдем прежде всего EX 2 :

Задача 1. Сл.в. X – сумма очков, выпавшая на двух игральных костях. Найти: График распределения : a) таблицу распределения X; b) функцию распределения F(x); c) P(X 4); d) P(2 X 5); e) EX; f) E(2X); g) M 2 X; h) DX; i) D(2X+1); j) X ; k) MoX; a) MeX.

Задача 2. Пусть задана функция распределения или функция плотности сл.в. X. Найти: a) график функции распределения; b) график функции плотности; c) P(X 4); d) P(2 X 5); e) EX; f) E(2X); g) M 2 X; h) DX; i) D(2X+1); j) X ; k) MoX; l) MeX.