ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ.

ЦЕЛИ УРОКА. Образовательные : - ознакомить учащихся с понятием правильного многогранника ; - заслушать отчёт исследовательской группы о возможности существования видов правильных многогранников ; - закрепление полученных знаний в ходе решения задач. Развивающая : развитие мыслительной деятельности, творческих способностей и логического мышления учащихся при выполнении исследовательской работы. Воспитательная цель : организация совместной учебной деятельности, воспитание ответственного отношения к учебе.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел Бертран Рассел

ВСПОМНИМ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ -К-К-К-Какие точки называются симметричными относительно точки О ? - Как называется эта точка? -Д-Д-Д-Дайте определение точек симметричных относительно прямой. Как называется эта прямая? -Ч-Ч-Ч-Чему симметричны точки расположенные на оси симметрии? -К-К-К-Какой ещё вид симметрии вам известен? -В-В-В-В каком случае говорят, что фигура обладает зеркальной симметрией.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О ( центр симметрии ), если О - середина отрезка АА 1 ( рис. 1). Точка О считается симметричной самой себе.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а ( ось симметрии ), если прямая а проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку ( рис. 2). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости α ( плоскость симметрии ), если плоскость α проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку ( рис. 3). Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.

Правильными многогранниками Называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники. В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Правильные многогранники - трёхмерный аналог плоских правильных многоугольников.

ОТЧЁТ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ГРУППЫ : n – число рёбер сходящихся при одной вершине; α – величина плоского угла при этой вершине; α < 360°/n; начиная с n = 7, плоский угол станет меньше 60º (такого правильного многоугольника не существует).

Угол правильного n – угольника равен β = 180° ( n -2)/n. n3456 β60°90°108°120°

β = 60° 60° · 3=180°

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость а проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру С D правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость а проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру С D правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии. Элементы симметрии правильных многогранников

β = 60° 60° · 4=240°

β = 60° 60° · 5=300°

β = 90° 9 0° · 3=270°

Куб имеет один центр симметрии - точку пересечения его диагоналей. Куб имеет девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии. Правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Элементы симметрии правильных многогранников

Куб единственный из правильных многогранников, которыми можно замостить пространство. Именно поэтому объём куба с единичным ребром принят за единицу объёма. Куб удивительным образом связан с 4 другими видами правильных многогранников. Куб единственный из правильных многогранников, которыми можно замостить пространство. Именно поэтому объём куба с единичным ребром принят за единицу объёма. Куб удивительным образом связан с 4 другими видами правильных многогранников. Центры граней куба - вершины тетраэдра и наоборот центры граней октаэдра – вершины куба. Центры граней куба - вершины тетраэдра и наоборот центры граней октаэдра – вершины куба.

β = 108° 108° · 3=324°

Куб можно вписать в додекаэдр. Его рёбра – диагонали граней додекаэдра. Причём ребром куба может быть любая из 5 диагоналей. Значит в додекаэдр может быть вписано 5 одинаковых кубов. На каждой из 6 граней куба можно выбрать по паре точек так, чтобы они были вершинами икосаэдра. Куб можно вписать в додекаэдр. Его рёбра – диагонали граней додекаэдра. Причём ребром куба может быть любая из 5 диагоналей. Значит в додекаэдр может быть вписано 5 одинаковых кубов. На каждой из 6 граней куба можно выбрать по паре точек так, чтобы они были вершинами икосаэдра.

Обозначим : число граней – f; рёбер – k; вершин – e; n – число рёбер каждой грани ; m – число рёбер сходящихся в вершине. Теорема Эйлера : f + e ­ k=2. nmfke Правильный тетраэдр Правильный октаэдр Правильный икосаэдр Правильный гексаэдр Правильный додекаэдр

Исторические сведения Сделаем вывод. Существует лишь 5 выпуклых правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб с квадратными и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела ещё называют Платоновыми.

огонь вода воздух земля Вселенная тетраэдр икосаэдр октаэдр гексаэдр додекаэдр

Что запомнилось нового? Когда испытывали затруднения? Какой материал был наиболее интересен? В каких ещё областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками? Домашнее задание: §31 – 33, вопросы 13 и 14, 283 и 286.

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэррол Л. Кэррол

ХИМИЯ Кристаллы поваренной соли Строение молекулы метана Строение решётки алмаза Пирит

Вирус полиомиелита Феодария Биология

АРХИТЕКТУРА и ЮВЕЛИРНОЕ ДЕЛО

Модель Солнечной системы Кеплера. Кубок Кеплера

Спасибо за внимание ! Автор : Кошедова Тамара Ивановна, учитель математики МОУ Чумашинской СОШ