ОГАОУ СПО Белгородский строительный колледж г. Белгород Представление о правильных многогранниках Автор: Агапова Наталья Николаевна, преподаватель математики

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: Тетраэдр Икосаэдр Додекаэдр Октаэдр Куб (гексаэдр)

Не существует Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n 6.

Доказательство: Угол правильного n-угольника при n6 не меньше 120 градусов. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов.

Доказательство: Значит, если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не менее чем 120*3=360.

Доказательство: Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.

Платоновыми телами Названия правильных многогранников пришли из Греции. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют Платоновыми телами, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

четырёх «стихий» Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдрогонь Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр воду Икосаэдр - как самый обтекаемый - воду. Кубземлю Куб - самая устойчивая из фигур - землю. Октаэдр воздух Октаэдр - воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. додекаэдр Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести их систематизацию.

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба

Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.

Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.

Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.

Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров

Молекулы воды имеют форму тетраэдра

Задание: Задание: Перерисуйте развертки правильных многогранников на плотные листы бумаги в большем масштабе, вырежьте развертки (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из них многогранники.

Куб Тетраэдр

Додекаэдр Октаэдр

Икосаэдр

Использованная литература: Л. С. Атанасян. Геометрия класс, М.: Просвещение, 2007 г. М. И. Башмаков. Математика, М.: Академия, 2013 г. Источники изображений: Изображения многогранников и развёрток Изображения многогранников в природе math.ru/publ/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/m nogogranniki_v_prirode/ http://free- math.ru/publ/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/m nogogranniki_v_prirode/