Удивительный мир правильных многогранников Авторы: Болотова Анна и Зверева Анна, учащиеся 10 «А» класса МОУ «СОШ 3 с углублённым изучением отдельных предметов» г. Котовска Проект

Цель исследования Изучить правильные многогранники и их свойства, опираясь на объекты природы и предметы окружающей действительности.

Задачи Изучить понятие правильного многогранника. Выяснить, сколько и почему существует видов правильных многогранников. Изучить понятие «Платоновых тел» и их роль в учении Платона. Выяснить применение свойств Платоновых тел в окружающей действительности. Выполнить практическую работу по изготовлению правильных многогранников.

Изучение понятия правильного многогранника В справочнике: «Правильные многогранники - выпуклые многогранники, ограниченные равными правильными многоугольниками и имеющие равные правильные многогранные углы». В учебнике: «Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники, и кроме того, в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер».

Существование правильного многогранника Можно доказать, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n>6. В самом деле, угол правильного n-угольника при n>6 не меньше 120 градусов. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должны быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани-правильные n- угольники при n>6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника, была бы не меньше,чем 120 *3 =360 градусов. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов. По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трёх квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет.В соответствии с этим получаем 5 видов правильных многогранников.

Платоновы тела Ещё в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Их пять : куб октаэдр икосаэдр тетраэдр додекаэдр. Эти многогранники носят название «Платоновых тел», по имени древнегреческого философа Платона.

Роль «Платоновых тел» в учении Платона Тетраэдр - огонь, Куб – земля, Октаэдр – воздух, Икосаэдр – вода, Додекаэдр – Вселенная.

Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Куб Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Развертки правильных многогранников

Правильные многогранники вокруг нас Такой красивый кристалл мы можем увидеть на выставке.

Результаты исследования Изучили понятие правильного многогранника. Выяснили понятие «Платоновых тел». Изучили свойства правильных многогранников. Ответили на вопрос «Почему существует только 5 видов правильных многогранников?» Выполнили практическую работу по изготовлению правильных многогранников, используя знания об их развертках.

Используемые источники Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11: Учебник для кл. ср. шк. Энциклопедический словарь юного математика под ред. А.П. Савина: Педагогика, Я познаю мир «Математика», Астрель, narod.ru/index/htm