1 Оглавление Способы задания случайных величин Числовые характеристики Основные дискретные распределения Основные непрерывные распределения Предельные теоремы

2 Определение. Случайной величиной называют вели- чину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд не извест- ное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Примеры. 1. Количество родившихся мальчиков среди 100 новорождённых. 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле. Дискретные и непрерывные случайные величины. Случайные величины: X, Y, Z,…, их значения: x, y, z,…

3 Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Таблично: Xx1x1 x2x2 …xnxn pp1p1 p2p2 … pnpn Аналитически: Графически : p 1 + p 2 +…+ p n = 1 – многоугольник распределения

4 Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее x, то есть F(x) = p(X < x). Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения. Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна на всей числовой оси.

5 Свойства функции распределения: 1) 2) Если x 1 < x 2, то 3) 4) Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то а) F(x)=0 при и б) F(x)=1 при 5) Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно определённое значение равна нулю: p(X=x) = 0.

6 Также функцию f(x) называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию, являющуюся производной от функции распределения: f (x) = F(x).

7 Свойства плотности распределения: 1)2) 3) 4) a b f (x)f (x) p(a < x < b) f (x)f (x)

8 Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех возможных значений этой случайной величины на соответствующие им вероятности. Обозначается М(Х). Пусть pnpn … p2p2 p1p1 p xnxn …x2x2 x1x1 X Если случайная величина Х принимает бесконечное множество значений, то

9 Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближённо равно средне- му арифметическому значений случайной величины. Пусть n – количество испытаний (достаточно большое) Доказательство Найдём среднее арифметическое всех значений:

10 Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определённый интеграл Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ox, то

11 X– p1/2 Пример. Y– p1/2, но X и Y сильно отличаются

12 X–М(Х)x 1 –М(Х)x 2 –М(Х)…x n –М(Х) pp1p1 p2p2 … pnpn Вопрос: можно ли для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вычислить отклонения каждого из этих значений от математического ожида- ния и затем найти их среднее? 1 0

13 Определение. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания: (X–М(Х)) 2 (x 1 –М(Х)) 2 (x 2 –М(Х)) 2 …(x n –М(Х)) 2 pp1p1 p2p2 …pnpn

14 1. Дискретная случайная величина (X–М(Х)) 2 (x 1 –М(Х)) 2 (x 2 –М(Х)) 2 …(x n –М(Х)) 2 pp1p1 p2p2 …pnpn или

15 2. Непрерывная случайная величина По определению Но

16 Среднее квадратическое отклонение Определение. Средним квадратическим отклоне- нием случайной величины Х называют корень из её дисперсии:

17 1. Биномиальное распределение Х – число появлений события А в n независимых испытаниях p – вероятность события А Возможные значения: Обозначим q=1 – p. Тогда p(k) = p k q n-k C n k М(Х) = np k = 0, 1, 2, …, n Бином Ньютона: D(Х) = npq и р – параметр распределения

18 2. Распределение Пуассона n – очень большое, p – очень мала, Возможные значения:k = 0, 1, 2, …, n Х – число появлений события А в n независимых испытаниях λ – параметр распределения Тогда p(k) = p k q n-k C n k.

19 3. Геометрическое распределение Х – число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А p – вероятность события А Возможные значения: Обозначим q=1 – p. Тогда p(k) = q k-1 p все натуральные числа k = 1, 2, 3, … р – параметр распределения и p, qp, q 2 p, q 3 p, q 4 p,... – геометрическая прогрессия

20 4. Гипергеометрическое распределение Х – число стандартных изделий среди отобранных Возможные значения: k = 0, 1, 2, …, min (M,n) В партии из N изделий имеется М стандартных. Из партии случайно выбирают n изделий. N, M, n – параметры распределения и

21 1. Равномерное распределение В интервале (a, b) постоянная плотность распределения a, b – параметры распределения и

22 2. Показательное распределение λ – параметр распределения и

23 3. Нормальное распределение и a, σ – параметры распределения

24 Пусть независимые случайные величины Х 1, Х 2, …, Х k имеют нормальное распределение, причём матамати- ческое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квад- ратическое отклонение равно 1. Тогда сумма квадратов этих величин: имеет – распределение с k степенями свободы. 1) Случайная величина χ ) При увеличении числа степеней свободы распреде- ление Пирсона медленно приближается к нормальному. k – параметр распределения

25 5. Распределение Стьюдента (t – распределение) Пусть X и Y – независимые случайные величины. X имеет нормальное распределение с матаматическим ожиданием, равным 0, и средним квадратическим отклонением, равным 1. Y имеет – распределение с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы k – параметр распределения При увеличении числа степеней свободы распределе- ние Стьюдента быстро приближается к нормальному.

26 6. Распределение Фишера (F – распределение) Пусть X и Y – независимые случайные величины. X имеет – распределение с k 1 степенями свободы. Y имеет – распределение с k 2 степенями свободы. Тогда величина имеет распределение Фишера с k 1 и k 2 степенями свободы. k 1 и k 2 – параметры распределения Так как X 0 и Y 0, то F 0.

27 Предельные теоремы: 1. Закон больших чисел. 2. Центральная предельная теорема.

28 Теорема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных величин X 1, X 2,…, X n,… не превышают постоянного числа С, то для произвольного сколь угодно малого числа > 0 справедливо равенство Следствие из теоремы Чебышева. Если случайные величины X 1, X 2,…, X n,… независимы и одинаково распределены, с математическим ожиданием a и дисперсией, то для произвольного сколь угодно малого числа > 0 справедливо равенство

29 Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то для произвольного, сколь угодно малого числа > 0 справедливо равенство где m – число появлений события A в n испытаниях.

30 Теорема Ляпунова. Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, причём все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии, и ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных, то есть оказывает ничтожное влияние на их сумму, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

31 Теорема. Пусть независимые случайные величины X 1, X 2,…, X n одинаково распределены с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением. Тогда случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному с мате- матическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением.

32 Следствие. Пусть независимые случайные величины X 1, X 2,…, X n одинаково распределены с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением. Тогда случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному с мате- матическим ожиданием, равным 0, и средним квад- ратическим отклонением, равным 1.