«Л ОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » учитель : МБОУСОШ 37 г. Новокузнецк Кривошеева Любовь Валерьевна

Определение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим Где, Оно имеет единственное решение при любом b.

Равносильные уравнения. Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например, и )

Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого. Например, уравнение является следствием уравнения, в то же время уравнение не является следствием уравнения.

Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и.

Основные методы решения логарифмических уравнений 1)по определению логарифма; например, уравнение log a х = b (а > 0, а 1, b>0 ) имеет решение х = а b. 2) функционально-графический метод;

3) метод потенцирования; Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если, log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1.

4. Метод введение новой переменной. 5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. 6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Этапы решения уравнения Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной Решить уравнение, выбрав метод решения Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения УравнениеРешение

Уравнения вида log a f(x) = b, a > 0, a 1. Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Уравнения вида log f(x) b = с, b > 0. Данное уравнение равносильно следующей системе

Решить уравнения: 1. log 3 (5х – 1) = log 2 (х – 5) + log 2 (х + 2) = log 3 (x 2 – 3x – 5) = log 3 (7 – 2x). 4. log x–1 9 = log 6 (x – 1) = 2 – log 6 (5x + 3).

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

log 2 х – 2 log х 2 = –1 Решение: ОДЗ: x > 0, х 1 Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Решить уравнения:

Введение новой переменной где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = log a f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0. Решив его, найдём х из подстановки t = log a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0. Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ). Введём новую переменную t = lg x, t R. Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t 1 = –2, t 2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3, х = 10 –2 или х = Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0). Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Найдём область определения уравнения Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно