МКОУ – Савкинская СОШ Презентация по теме: «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений» Учителя математики первой квалификационной категории Штабрат Ольги Анатольевны

х 2 +4х-5=0 у 2 +bу+са=0 5х 2 +7х+2=0 (b+d)x-x 2 =bd

Актуальность темы исходит из особенности нашего времени – это потребность в предприимчивых, деловых, компетентных специалистах в той или иной сфере деятельности. Необходимо быть грамотным, чтобы нормально «функционировать в сложном и требовательном обществе». А быть грамотным в быстро меняющемся мире означает быть просто лучше образованным. Чем выше уровень образованности, тем выше профессиональная и социальная мобильность. Кроме того, анализ единого государственного экзамена показывает, что не менее 50% предлагаемых задач с параметрами так или иначе связано с нахождением корней квадратного трехчлена.

Тема «Квадратные уравнения» занимает в математике одно из центральных мест. Разнообразие задач относящихся к теме работы, очень велико. Они часто входят в состав решения более сложных задач математики и физики. Недаром среди математиков популярна такая фраза «Во многих задачах торчат уши квадратного уравнения». Вот эти «уши» и надо заметить, чтобы сообразить, как получить ответ.

Поэтому, проблема решения квадратных уравнений нестандартными методами, которые недостаточно освещены в общем курсе школьной математики и совершенно необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи конкурсных экзаменов, а также для успешных выступлений на математических олимпиадах, будет существовать.

Объект исследования - процесс обучения учащихся 8 класса. Предмет исследования – формирование умений и навыков учащихся 8 класса по решению квадратных уравнений нестандартными методами в процессе обучения их по данной теме.

Гипотеза – обучение, подготовка и сдача конкурсных экзаменов, выступление на математических олимпиадах будет проходить успешнее, если в процессе обучения научить школьников нестандартным приемам решения квадратных уравнений.

Практическая значимость: материал данной работы может использоваться как на уроках математики в 8-9 классах, так и на занятиях кружков. Он способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

расширить расширить и углубить представления о решение квадратных уравнений через применение нестандартных методов

Задачи: Задачи: 1. Проанализировать методическую и специальную литературу по данной теме. 2. Научить учащихся решать квадратные уравнения более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности.

«Предмет математики настолько серьёзен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным». Блез Паскаль « «« «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». С. Коваль

Приведённые квадратные уравнения можно решать устно по обратной теореме Виета: Произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену с тем же знаком, а сумма корней-второму коэффициенту с противоноложным знаком.

= * / 5 6 х * 5 + * = / 0 * + * * Пример 1: а) х2-7х+10=0 ((5)+(2)) б) х2+10х+21=0 ((-3)+(-7)) Пример 2: а) х2-2х-24=0((6)+(-4) б) х2+3х-18=0((3)+(-6))

Не каждое приведённое уравнение можно решать устно Например, х 2 + 3х +1 =0 х 1,2 = х 1,2 = или х 2 – 2х + 5 = 0 D = 4 – 20 = -16 D = 4 – 20 = -16

Метод разложения на множители Пример : 3х 2 + 2х – 1 = 0 3х 2 + 3х – х – 1 = 0 3х 2 + 3х – х – 1 = 0 3х(х + 1) – (х + 1) = 0 3х(х + 1) – (х + 1) = 0 (х + 1) (3х – 1) = 0 (х + 1) (3х – 1) = 0 х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0 х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0 х = -1 или х = х = -1 или х = ответ: -1; ответ: -1;

Пример: ( ( ( (5х + 3)2 = 3(5х + 3) – 2 П Пусть 5х + 3 = t, тогда t2 = 3t – 2 t t + 2 = 0 D > 0, то t1 = 1 t 2 = 2 Если t = 1, то 5х + 3 = 1; х = -0,4 Если t = 2, то 5х + 3 = 2; х = -0,2 Ответ: -0,4; -0,2

Использование свойства коэффициентов квадратного уравнения Использование свойства коэффициентов квадратного уравнения х 2 + 4х – 5 = 0 х 2 + 6х + 5 = 0 а = 1, b =4, c =-5 a = 1, b = 6, c = 5 a + b + c = 0 a + c = b x 1 = 1, x 2 = -5 x 1 = -1, x 2 = -5 x 1 = 1, x 2 = -5 x 1 = -1, x 2 = -5 ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Если а + b + c = 0, то х 1 = 1; х 2 = Если а + с = b, то х 1 = -1; х 2 = - Например, 5х 2 + 7х + 2 = 0 х 1 = -1; х 2 = - или 5х 2 + 7х =0 х 1 = -1; х 2 =

Метод «переброски» старшего коэффициента ах 2 + bx + c = 0; a 2 x 2 + bax + ca = 0 Пусть ах = у, тогда у 2 + bу + са = 0 Так как ах 1 = у 1, ах 2 = у 2, то х 1 =, х 2 =

Пример: 2х =0 22 · х2 - 2 · 11х + 30 =0 Пусть 2х = у, тогда у2 - 11у + 30=0 у1 = 5, у2 = 6 Тогда 2х1 = 5, 2х2 = 6; х1 = 2,5, х2 = 3 Ответ: 2, 5 ; 3

Пример: Пример: Х 2 + 1,5х - 2,5 = 0 Х 2 = -1,5х + 2,5 У = х 2 и У = -1,5 х+ 2,5 Ответ: -2,5 ;1

Пример1: Х 2 – 2х + 1 = 0 Ответ: 1 Пример2: Х 2 + 4х – 5 = 0 Ответ: -5 ; 1 Пример3: Х 2 – 4х + 5 = 0 Ответ: нет корней

История развития квадратных уравнений: Квадратные уравнения в Багдаде(9 век) Квадратные уравнения в Багдаде(9 век) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Квадратные уравнения в Индии. Квадратные уравнения в Индии. Квадратные уравнения в Европе в.в. Квадратные уравнения в Европе в.в. Квадратные уравнения в Древней Греции. Квадратные уравнения в Древней Греции. X 2 +bx+c=0

Квадратные уравнения в Багдаде(9 век): Квадратные уравнения в Багдаде(9 век): Впервые квадратные уравнения появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из города Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путём, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод ал- Хорезми почти алгебраический. Впервые квадратные уравнения появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из города Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путём, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод ал- Хорезми почти алгебраический.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне: Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне: Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Европе в веках: Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду ax 2 +bx+c=0, было сформулировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду ax 2 +bx+c=0, было сформулировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем.

Квадратные уравнения в Индии: Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году. Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.» В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.»

Квадратные уравнения в Древней Греции: Квадратные уравнения также решали и в Древней Греции. Среди математиков Древней Греции было принято выражать алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение истолковали как площадь прямоугольника, а произведение трёх чисел-как объём прямоугольного параллепипеда. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника. С того времени идут термины «квадрат числа», «куб числа». Квадратные уравнения греки также решали геометрически. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант. Особое внимание уделял неопределённым уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом».

Знаменитый физик Альберт Эйнштейн говорил: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по- моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Знаменитый физик Альберт Эйнштейн говорил: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по- моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».