Решение логарифмических уравнений учитель : МОУСОШ 17 г. Краснодара Аблёзгова Наталия Александровна

Определение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Его решение: x = a b. log a x = b, a > 0, a 1. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение

Решить уравнение log 2 x = 3 Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 x = 8 принадлежит области определения уравнения

Решить уравнения: log 3 (5х – 1) = 2. log 2 (х – 5) + log 2 (х + 2) = 3.

. log 2 (x – 3) = 5; lg x + lg (x + 3) = 1; log 3 (x 2 – 3x – 5) = log 3 (7 – 2x).

Уравнения вида log a f(x) = b, a > 0, a 1. Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Уравнения вида log f(x) b = с, b > 0. Данное уравнение равносильно следующей системе

Пример. log x–1 9 = 2. Данное уравнение равносильно системе Ответ. x = 4.

Потенцирование. Суть метода заключается в переходе от уравнения log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно не равносильно исходному.

Уравнения вида log a f(x) = log a g(x), а > 0, а 1. На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x). Переход от уравнения log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

log 3 (x 2 – 3x – 5) = log 3 (7 – 2x). Область определения уравнения найдётся из системы неравенств Потенцируя данное уравнение, получаем х 2 – 3х – 5 = 7 – 2х, х 2 – х – 12 = 0, откуда х 1 = –3, х 2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов: log b a + log b c = log b (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1, log b a – log b c = log b (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1, m log b a = log b a m, где a > 0; b > 0, b 1; m R.

log 6 (x – 1) = 2 – log 6 (5x + 3). Найдём область определения уравнения из системы неравенств Применяя преобразования, приходим к уравнению log 6 (x – 1) + log 6 (5x + 3) = 2, log 6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению (х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

Решить уравнение

Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень. Ответ. х = –4

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

log 2 х – 2 log х 2 = –1

Решение: ОДЗ: x > 0, х 1 Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Введение новой переменной где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = log a f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0. Решив его, найдём х из подстановки t = log a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0. Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ). Введём новую переменную t = lg x, t R. Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t 1 = –2, t 2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3, х = 10 –2 или х = Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0). Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно

Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей. Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать : Уравнения вида

Пример 1. Решить уравнение Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log 3 t монотонна, то (1 + log 3 x) log 3 x = 2. Введём новую переменную t, где t = log 3 x, t R. (1 + t) t = 2, t 2 + t – 2 = 0, t 1 = –2, t 2 = 1. log 3 x = –2 или log 3 x = 1, x = 1/9 или х = 3. Ответ. х = 1/9; х = 3.

Методом логарифмирования можно решать : Уравнения вида

Домашнее задание :