Правильная треугольная пирамида, вписанная в шар АQ = ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара. AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды. SO = H – высота пирамиды. SЕ = h – апофема пирамиды. P E T C A B R r H O S Q

Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар AQ = BQ = CQ = DQ = = SQ = R – радиус шара. AO = BO = CO = DO = r радиус круга, описанного около основания пирамиды. SO = H – высота пирамиды. SЕ = h – апофема пирамиды. P E D C A B R r H O S Q

Треугольная пирамида описана около шара E 1 Q = OQ = TQ = R – радиус шара. EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. A B C O S P E Q E1E1 T r E1E1 E O Q S R R r r SO = H – высота пирамиды. R

A B C O S D E Q E1E1 M P P1P1 Четырехугольная пирамида описана около шара E 1 Q = P 1 Q = OQ = R – радиус шара. EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. SO = H – высота пирамиды. R EP S E1E1 P1P1 O r

Задачи Шар вписан в пирамиду. Пирамида вписана в шар. Сфера вписана в конус. Куб вписан в конус. Шар вписан в конус.

A B C O S D P Q P1P1 В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, объем которого 32 /3. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 6. Решение. 1) тогда 2) 3) SP 1 Q – прямоугольный, 4) SP 1 Q SOP ( Р 1 = О=90, S – общий), откуда 5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое больше, и равна 6) Ответ:

В шар, объём которого, вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, если её боковое ребро равно, а высота больше радиуса шара. D C A B O S Q Решение. 1)тогда 2) Пусть OQ = x, тогда из AOQ выразим сторону АО: x 3) Составим теорему Пифагора для ASO: 5 5 Откуда находим OQ = 4. 4) Тогда SO = 5+4=9, 5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной 6) Ответ: и АО = 3. 2

Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус основания конуса. Решение. A B O S О1О1 РО2О2 1) C = 2 r = 6, тогда r = O 2 P = 3. 2) S сферы = 4 R 2 =100, тогда R = O 1 P = 5. 3) Из O 1 O 2 P по теореме Пифагора находим: 4) В O 1 PS отрезок РО 2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит 5) Найдем высоту конуса SO= SO 2 +O 2 O 1 +O 1 O = 2, = 11,25. 6) SО 2 Р SOВ ( О 2 = О=90, S – общий), откуда Ответ: ,

O S О1О1 Р Р1Р1 В конус с образующей 6 6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба. Решение. 2) a – сторона куба, тогда 3) Выразим через a: 4) SО 1 Р 1 SOР ( О 1 = О=90, S – общий), откуда a = 6. 1) Из прямоугольного SOP находим: 5) V куба = a 3 = 6 3 = 216. Ответ:

Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10. O S О1О1 Р Р1Р1 Решение. 1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R. 2) По условию т.е. 3) SP 1 O 1 SOP ( Р 1 = О=90, S – общий), откуда SO 1 = 5, 5 5) Тогда коэффициент подобия треугольников k = ½. 2r2r 2r2r 10-2r откуда r = 3. 4) Заметим, что РР 1 = 2 r, SP 1 = 10 – 2 r, SO = 5+ r. Ответ: 3. r r 5

Ответ: Высота конуса равна 6, а объём равен 144. Найдите площадь полной поверхности куба, вписанного в конус Шар объём которого равен 32 /3, вписан в конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен Ответ:

Реши задачу и оформи решение либо на альбомном листе, либо в виде электронного документа (PowerPoint, Paint, Word и т.д.) Что нового вы узнали на уроке? Домашнее задание Рефлексия Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня? Чему вы научились? Какое у вас настроение в конце урока?

Использованные ресурсы 1. Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.: МЦНМО, с. 2. Гусев В. А., Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Геометрия. М.: Просвещение, Комплект таблиц по стереометрии: Единый государственный экзамен 2001: Тестовые задания: Математика/С.В. Климин, Т.В. Стрункина, Е.И. Пантелеева и др.; М-во образования РФ. – М.: Просвещение, Для создания шаблона презентации использовалась картинка и шаблон с сайта Рисунки на слайдах 6, 12, 13 взяты с сайта: ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D 0%BB%D1%8B ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D 0%BB%D1%8B