Государственное общеобразовательное учреждение г. Москвы Центр образования 1296 Евклид. Лобачевский. Две геометрии- один мир! 1

Цели и задачи урока 1. Рассмотреть постулаты Евклида 2. Изучить аксиомы геометрии Лобачевского 3. Сделать сравнительный анализ двух геометрий 4.Рассмотреть основные принципы построения геометрии Лобачевского. 5.Доказать, что Евклидова геометрия является составной частью геометрии Лобачевского. 2

Геометрия раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения. Разделы геометрии: Классическая Аналитическая Дифференциальная Начертательная Фрактальная 4

доклад о новой «Воображаемой геометрии» 1829 – первое сочинение «О началах геометрии» "Воображаемая геометрия" "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам" "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных" "Геометрические исследования по теории параллельных" «Пангеометрия» Николай Иванович Лобачевский ( ) 5

5 Постулатов 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой 1.Через две точки можно провести одну и только одну прямую. 2.Прямая продолжается бесконечно. 3.Из любого центра можно провести окружность любым радиусом. 4.Все прямые углы равны между собой. 6

Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°) На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. 7

Н.И.Лобачевский пытался рассуждать о доказательстве 5 постулата по методу от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Тем самым он и будет доказан. Проведем доказательство: Допустим, что пятый постулат не верен: через точку А, не принадлежащую прямой в, можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с прямой в. Доказательство 5 постулата 8

1.Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. В конечном итоге найдется такая прямая с', которая является предельным положением, до которого прямые не пересекают прямую b. 2.Отложим прямую с", симметричную с' относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Все будет аналогично. 3.Лобачевский называет эти прямые параллельными прямой b, причем с' параллельна прямой b вправо. 4.Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b, именуются расходящимися с прямой b. 9

Далее Н.И.Лобачевский доказал, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга. 10

Сумма углов треугольника В геометрии Евклида: Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. 11

Сумма углов треугольника В геометрии Лобачевского: Возьмём треугольник с точками NLK, где N - Северный полюс, L - пересечение экватора и нулевого меридиана и K - пересечение экватора с меридианом в 90 градусов. Тогда мы получим треугольник, все углы которого равны 90 градусам, то есть треугольник, сумма внутренних углов которого равна 270 градусам. Так на шаре выглядит треугольник АВС образованный красной, синей и зелёной прямыми K N L 12

Геометрия Лобачевского Основными объектами на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. На плоскости Лобачевского различают три типа расположения прямых: Параллельные Пересекающиеся Расходящиеся 13

Виды пучков прямых Первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка Третий вид пучков - пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении Второй вид пучков - перпендикуляры к одной прямой – оси пучка Два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, в отличие от геометрии Евклида. 14

Для их построения Лобачевским было введено понятие соответственных точек. В первом виде пучков это точки на прямых, равноудаленные от центра. В пучке третьего вида соответствующие точки расположены симметрично относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми, на которых лежат эти точки. Во втором виде пучков это точки прямых, лежащие по одну сторону от оси и удалённые от нее на одинаковые расстояния. Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые. 15

Если последовательно соединить данные точки... В первом случае мы получим окружность: Во втором – линию равных расстояний: В третьем – предельную линию : 16

Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского: Модель Клейна Модель Пуанкаре Модель Бельтрами 17

Модель Пуанкаре Абсолюта Роль прямой выполняют дуги и лучи, перпендикулярные к абсолюту Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта. 18

Неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой. В соответствии с определением, угол между пересекающимися окружностями - это угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой. Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов. 19

Модель Клейна За точки – точки, принадлежащие этому кругу За прямые - хорды с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За плоскость принимается часть плоскости внутри круга, без его границ. 20

Бутылка Клейна В 1882г немецкий математик Феликс Христиан Клейн создал модель плоскости Лобачевского под названием бутылка Клейна Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). В отличие от обыкновенной бутылки у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»). Интересный факт: 21

Модель Бельтрами псевдосфера Эудженио Бельтрами ( ) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии трактрисы вокруг ее оси. На псевдосфере (плоскости отрицательной кривизны) сумма углов треугольника будет меньше 180 градусов F C A D N B E 22

Применение геометрии Лобачевского в реальном мире Геометрия Евклида является частным случаем геометрии Лобачевского. Наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы? Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6. 25

ВЫВОД Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею. 2626