Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если.

Advertisements

Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.

Теорема синусов Теорема. (Теорема синусов.) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем отношение стороны треугольника к.

Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник.

Изопериметрическая задача Изопериметрической задачей называют задачу о нахождении фигуры наибольшей площади, ограниченной кривой заданной длины (периметра)

Площадь треугольника Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие. Площадь.

Сумма углов треугольника Следствие. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 о. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. Доказательство.

Замечательные точки треугольника К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности; б) точка.

Перпендикуляр Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой.

Многоугольники, вписанные в окружность Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом.

Треугольники Треугольник называется остроугольным если у него все углы острые (рис. 1). Треугольник называется прямоугольным если у него есть прямой угол.

10 30 Найти длину высоты равнобедренной трапеции.

Укажите вид треугольника, не вычисляя его углов. 7; 8 и 12 3; 4 и 5 8; 10 и 12 тупоугольный прямоугольный остроугольный.

Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,

Параллелограмм Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.

Признак равнобедренного треугольника Теорема. (Признак равнобедренного треугольника.) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство.

Решение задач по теме «Теорема Пифагора». ЦЕЛИ УРОКА: Научиться применять теорему Пифагора, теорему, обратную теореме Пифагора, опорные формулы к решению.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. sinA = cosB = sinA = cosB sin( < B) = cosB sinA = cos( < A) А С В с а b c a a c.

МБОУ «Кваркенская СОШ» Тема: «Многоугольники, описанные около окружности и вписанные в окружность.» Учитель математики : Затолюк Зоя Николаевна.

Транксрипт:

Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Доказательство: Обозначим АВ = с, ВС = а, АС = b. Из вершины А опустим перпендикуляр АD. Тогда АD = b sin C, CD = b cos C, BD = a – b cos C. По теореме Пифагора имеем c 2 = (a – b cos C) 2 + (b sin C) 2 = a 2 – 2ab cos C + b 2 cos 2 C + b 2 sin 2 C = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Самостоятельно рассмотрите случаи прямого и тупого угла С.

Упражнение 1 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 30 о. Найдите AB. Ответ:.

Упражнение 2 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 30 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

Упражнение 3 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 45 о. Найдите AB. Ответ:.

Упражнение 4 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 45 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

Упражнение 5 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 150 о. Найдите AB. Ответ:.

Упражнение 6 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 150 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

Упражнение 7 В треугольнике ABC AC = BC = 1, угол C равен 135 о. Найдите AB. Ответ:.

Упражнение 8 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 135 о, AB = 1. Найдите AC. Ответ:.

Упражнение 9 Даны три стороны треугольника a = 2, b = 3, c = 4. Найдите косинусы его углов A, B, C. Ответ: cos A =, cos B =, cos C =.

Упражнение 10 Ответ: В треугольнике АВС АВ = 12 см, АС = 8 см, угол A равен 60 о. Найдите третью сторону.

Упражнение 11 Ответ: а) 14 см; Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 120 о, если прилежащие к нему стороны равны: а) 6 см и 10 см; б) 14 мм и 16 мм. б) 26 мм.

Упражнение 12 Ответ: а) острый; При каких значениях угла А квадрат стороны треугольника, лежащей против этого угла: а) меньше суммы квадратов двух других сторон; б) равен сумме квадратов двух других сторон; в) больше суммы квадратов двух других сторон? б) прямой;в) тупой.

Упражнение 13 Ответ: а) Тупоугольный; Не вычисляя углы треугольника, укажите его вид (относительно углов), если стороны треугольника равны: а) 7, 8, 12; б) 0,3, 0,4, 0,5; в) 13, 14, 15. б) прямоугольный; в) остроугольный.

Упражнение 14 Ответ: а) На стороне треугольника; Как расположен центр описанной окружности относительно треугольника, стороны которого равны: а) 6, 8, 10; б) 4, 5, 6; в) 3, 4, 6? б) внутри треугольника; в) вне треугольника.

Упражнение 15 Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними. Найдите стороны параллелограмма. Ответ:

Упражнение 16 Даны стороны параллелограмма а и b и один из его углов. Найдите диагонали параллелограмма. Ответ:

Упражнение 17 Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Доказательство. По теореме косинусов имеем Складывая эти равенства и учитывая, что косинус угла ADC равен минус косинус угла BAD, получим требуемое утверждение.

Упражнение 18 Стороны параллелограмма равны 30 мм и 35 мм, одна диагональ 55 мм. Найдите другую диагональ. Ответ: 35 мм.

Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что для медианы m c, проведенной из вершины C, имеет место формула Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Складывая эти равенства, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 19

Стороны треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне. Упражнение 20 Ответ. 9,5.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4. Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3. Упражнение 21 Ответ.

Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для биссектрисы l c, проведенной из вершины C, имеет место формула где c, c – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Умножим первое равенство на a, второе на b и вычтем из первого равенства второе. Делая тождественные преобразования, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 22

В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5. Найдите биссектрису CD. Упражнение 23 Ответ:

В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 5, Найдите биссектрису AD. Упражнение 24 Ответ: 6.

В треугольнике ABC AC = 12, BC = 15, AB = 18, Найдите биссектрису СD. Упражнение 25 Ответ: 10.

В треугольнике ABC AC = BC, AD – биссектриса, AB = CD = 1. Найдите AC. Упражнение 26 Ответ:

Упражнение 27 Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см? Более точная формулировка: существует ли четырехугольник со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, около которого можно описать окружность? Решение. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность в случае, если По теореме косинусов Откуда Следовательно, такой четырехугольник существует.