Определение конуса.

Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью, образованной отрезками, соединяющими точку, вершину конуса, со всеми точками окружности, ограничивающей основание конуса.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским– учеником Евклида, который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Элементы конуса.

Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со всеми точками какой–нибудь кривой, ограничить плоскостью.

Прямой круговой конус. Круговой конус называется прямым, если его высота попадает в центр круга.

Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса. Эта прямая так и называется – осью конуса.

Сечения конуса. Если через вершину конуса провести плоскость, пересекающую основание, то в сечении получится равнобедренный треугольник.

Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым. В основании осевого сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. (Угол при вершине конуса).

Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг.

Вписанная и описанная пирамиды. П ирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой – многоугольник, вписанный в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

П ирамида называется описанной около конуса, если ее основание – это многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Плоскости боковых граней описанной пирамиды проходят через образующую конуса и касательную к окружности основания, т.е. касаются боковой поверхности конуса.

Боковая поверхность конуса. П од боковой поверхностью конуса мы будем понимать предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую. Д ано: R – радиус основания конуса, l – образующая конуса. Доказать: S бок.кон. = π Rl

Доказательство:

Развертка конуса. Р азвертка конуса – это круговой сектор. Его можно рассматривать как развертку боковой поверхности вписанной правильной пирамиды, у которой число боковых граней бесконечно увеличивается.

Зная угол, образованный высотой и образующей конуса, можно вычислить угол сектора, полученного при развертке конуса, и наоборот.

Объем конуса. Дано: R – радиус основания Н – высота конуса Доказать: V кон. = 1/3 S осн. H Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объемом конуса будем считать предел, к которому стремится объем вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается. Доказательство:

Доказательство:

Конусные фигуры в быту

Конусные тела в архитектуре