Поверхность как объект пространства Понятие «поверхность» в начертательной геометрии связано с представлением о кинематическом способе ее образования: Поверхность – непрерывное двухпараметрическое множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Подвижная линия l называется образующей; Неподвижная m, n, p, задающая направление перемещения, – направляющей. Q m1m1 m2m2 m3m3 L3L3 L2L2 L1L1

Для задания поверхности на чертеже выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность называется определителем поверхности. Обозначим определитель буквой G. Формула определителя выглядит так: G = { Г х А }, где Г – геометрическая часть А – алгоритмическая часть Геометрическая часть - совокупность геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность. Алгоритмическая часть - алгоритм формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя. Определитель часто задают словесно.

Одна и та же поверхность может быть образована различными способами, следовательно иметь несколько определителей. а) цилиндр образован вращением прямой образующей L вокруг неподвижной оси i; направляющая m – окружность, центр которой лежит на оси цилиндра. G 1 = { (L,i,m ) ( A 1 ) } L m i б) образующая - окружность с центром на оси цилиндра. G 2 = { ( m, i ) ( A 2 ) } i O m

Поверхность на чертеже задают проекциями геометрической части ее определителя. Задание поверхности проекциями геометрической части ее определителя не обеспечивает наглядности изображений. Поэтому прибегают к построению очерков ее проекций.

Классификация поверхностей При классификации поверхностей основополагающим является способ образования и свойства поверхности. По виду образующей: Линейчатые (образующая – прямая линия) Нелинейчатые (образующая – кривая линия)

Линейчатые поверхности: Развертывающиеся Неразвертывающиеся Нелинейчатые поверхности: С образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые пов-ти) С образующей переменной формы (циклические пов-ти) Циклическая поверхность

По закону движения образующей линии: поверхности вращения; винтовые поверхности; поверхности с плоскостью параллелизма; поверхности параллельного переноса. Поверхности вращения созданы при вращении образующей m вокруг оси i G = { (i,m ) ( A 1 ) }

Гиперболоид вращения Сфера Сфероид Вытянутый эллипсоид Тор

Винтовые поверхности Поверхности параллельного переноса

Поверхности с плоскостью параллелизма Цилиндроид Коноид Гиперболический параболоид

Задачи позиционные Задачи на взаимную принадлежность геометрических образов Задачи на взаимное пересечение геометрических образов

Точка и линия на поверхности Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в данной плоскости. Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей в данной поверхности. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с ней две общие точки Линия принадлежит поверхности, если имеет с ней n-ное количество общих точек.

Плоские сечения Плоскости Общего положенияЧастного положения Проецирующие Плоскости уровня О R x y z R1R1 z O x y S2S2 S T T3T3 O x y z

Горизонтально проецирующая плоскость

Фронтально проецирующая плоскость

Горизонтальная плоскость

Фронтальная плоскость

Плоские сечения поверхности КОНУСА

Сечения конуса: а) – окружность; секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (плоскость Г); б) – эллипс; секущая плоскость наклонна к оси конуса и пересекает все образующие конуса (плоскость R); в) – парабола; секущая плоскость параллельна одной образующей (плоскость Т); г) – гипербола; секущая плоскость параллельна двум образующим (плоскости Р и Q); д) – прямые ( по образующим или «треугольник» ); секущая плоскость проходит через вершину конуса (плоскость W).

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 1. ВЫПОЛНИТЬ АНАЛИЗ УСЛОВИЯ: ОПРЕДЕЛИТЬ ФИГУРУ СЕЧЕНИЯ. 2. ПОСТРОИТЬ ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ; ТОЧКИ ОБОЗНАЧИТЬ. 3. ПОСТРОИТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ. 4. ВСЕ ПОЛУЧЕННЫЕ ТОЧКИ СОЕДИНИТЬ ПЛАВНОЙ КРИВОЙ С УЧЕТОМ ВИДИМОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО считать Н Е П Р О З Р А Ч Н Ы М.

ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА ЭЛЛИПС – ДВАЖДЫ СИММЕТРИЧНАЯ КРИВАЯ. НЕОБХОДИМО ПОСТРОЕНИЕ ДВУХ ЕГО ОСЕЙ: БОЛЬШОЙ и МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ и ДЕЛЯТ ДРУГ ДРУГА ПОПОЛАМ в ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. ПОЭТОМУ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ВТОРОЙ ОСИ СЛЕДУЕТ НАЙТИ СЕРЕДИНУ ПЕРВОЙ.

П А Р А Б О Л А

Плоские сечения поверхности ЦИЛИНДРА ( ФРОНТАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ )

СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ - ОКРУЖНОСТЬ ПРИ ЛЮБОМ ПОЛОЖЕНИИ СЕКУЩЕЙ ПЛОСКОСТИ Плоские сечения поверхности СФЕРЫ

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ ТЕЛА С ВЫРЕЗОМ 1. ВЫПОЛНИТЬ АНАЛИЗ УСЛОВИЯ: продолжить все заданные секущие плоскости до полного пересечения с поверхностью. ОПРЕДЕЛИТЬ ФИГУРЫ СЕЧЕНИЯ ОТ КАЖДОЙ СЕКУЩЕЙ ПЛОСКОСТИ ВЫРЕЗА. 2. ПОСТРОИТЬ ПОЛНЫЕ ФИГУРЫ СЕЧЕНИЯ ОТ КАЖДОЙ СЕКУЩЕЙ ПЛОСКОСТИ. 3. ИЗ ПОЛУЧЕННЫХ ФИГУР СЕЧЕНИЯ СФОРМИРОВАТЬ ВЫРЕЗ. 4. ВЫПОЛНИТЬ ОБВОДКУ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ ВИДИМОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО СЧИТАТЬ Н Е П Р О З Р А Ч Н Ы М.

СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА - МНОГОУГОЛЬНИК