МБOУ СОШ 11 Садкова И.Н.

I. Углы, связанные с окружностью. II. Отрезки, связанные с окружностью. III. Вписанные и описанные окружности.

9 стр. 4. Две окружности пересекаются в точках А и В. В каждой из данных окружностей проведены хорды АС и АМ так, что хорда одной окружности является касательной к другой, причем ВС= a, ВМ= b. Найдите АВ. Решение: А В М О1О1 С 1). Окр(О 1 ;r 1 ), т.к. Аналогично Хорда АВ и касательная АМ образуют 2). Ответ: a b

A B C C1C1 A1A1 B1B1 ΔABA 1 ; ΔBCC 1 ; B – общий Значит Δ BA 1 С 1 ~ Δ BAC Cos B – коэффициент подобия AC 1 C = AA 1 C = 90 0, значит точки A, C 1, A 1, C лежат на окружности с диаметром AC = 2 = ½ дуги AC 1 3 = 4 = ½ дуги A 1 C P ΔAC 1 P ~ ΔCAP. Конструкция, связанная с высотами треугольника

ЕГЭ Задача 1. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B. Найдите расстояния между центрами окружностей, если AB = 16. A O1O1 O B A O1O1 O B I случайII случай

I случай: Центры лежат по разные стороны от AB A B O1O1 O K OO 1 = = 21 OK = = 15 O 1 K == OO 1 = OK + KO 1

II случай: Центры лежат c одной стороны от AB A B O1O1 O K OO 1 = = 9 OK = = 15 O 1 K == OO 1 = OK - KO 1 Ответ: 21 или 9.

O A B C C1C1 A1A1 O – центр окружности, OK AC AK = KC AOК = ½ AOС = ½ дуги AC, т.к. AOС центральный К В- вписанный, B = ½ дуги AC В = AOK ЕГЭ Задача 2. Высоты ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной околоABC. Найдите угол ACB. H

O A B C C1C1 A1A1 К В BCC 1 В + C = 90 0 В AOK A + O = 90 0 C = A H AOK = CHA 1 по гипотенузе и острому углу; Из равенства треугольников AK = A 1 C.

O A B C C1C1 A1A1 К H AA 1 C, A 1 = 90 0 ; cos C = C = 60 0

A B C H B1B1 C1C1 O H – точка пересечения продолжений высот;CH = R O – центр окружности; OK BC ; ВК = ½BC; K BOK = ½ дуги ВС = A ; A = H, т.к. они дополняют равные 1 и 2 до 90 0 ; 1 2 BOK = CHB 1 по гипотенузе и острому углу; CB 1 = BK = ½BC; в BCB 1 cos BCB 1 = ½; BCB 1 = 60 0 ABC; C = –60 0 = (Св-во смежных углов) Ответ: 60 0, 120 0

ЕГЭ Задача 3. В ΔABC проведены высоты MB и CN. O – центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Известно, что BC = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около ΔBOC.

A B C M N H 12 6 Пусть заданный треугольник остроугольный, покажем, что A = 60 0 Из ΔABM: ; Из ΔACN: ΔAMN ~ ΔABC т.к. и A – общий; Из подобия откуда, ; A = 60 0 I случай:

A B C M N H 12 6 O Покажем, что BOC = Точка {O} = CO BO – биссектрисы углов KBC и BCP K P Введём α и β. α+β = = α β = α β=240 0

Пусть R – радиус окружности, описанной около Δ OBC, тогда по теореме синусов

A B C N M H 12 6 Проведём высоты BM и CN; NM = 6 Н – пересечение прямых, содержащих высоты тогда, аналогично I случаю, H = Рассмотрим выпуклый четырёхугольник AMHN, A = 120 0, значит, BAC = II случай:

A B C N M H 12 6 P K α β α + β = = ; 3 = = = O ΔBOC; O = 30 0 R = 12 Ответ: 12 или 4 3.

Дана окружность и точка M. Точки A и B лежат на окружности, причём A – ближайшая к M точка окружности, а B – наиболее удалённая от M точка окружности. Найдите радиус окружности, если MA = a и MB = b. ЕГЭ Задача 4. стр.7.

Докажем, что точки A и B лежат на прямой OM, где O – центр окружности. M O A B A1A1 MO < MA 1 +A 1 O MA + R < MA 1 + R MA < MA 1 (A 1 – произвольная точка окружности) значит, А – ближайшая к М точка окружности

M O A B B1B1 MB 1 < MO + OB 1 MB = MO + R MB 1 < MB (B 1 – произвольная точка окружности) значит, B – наиболее удалённая от М точка окружности MB 1 < MO + R

Рассмотрим два случая: а) M вне окружности б) точка M находится внутри окружности A B M a b r = ½ (b - a) AB M a b r = ½ (b + a)