Урок 1. Тема: «Основные аксиомы стереометрии». Цель: обеспечить усвоение основных аксиом стереометрии и следствий из них. Задачи: 1. Обеспечить мотивацию учения школьников. 2. Обеспечить в ходе урока обучение составлению схемы - конспекта. 3. Развивать работоспособность.

Структура урока - лекции: 1. Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции. 2. Её разрешение при реализации намеченного плана лекции. 3. Выделение опорных ЗУН и их оформление с помощью памятки «Как конспектировать лекцию» 4. Воспроизведение учащимися опорных ЗУН по опорным конспектам. 5. Применение полученных знаний. 6. Обобщение и систематизация изученного материала. 7. Формирование домашнего задания.

Ход урока. В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, и физики, исследующие структуру атомов и молекул, и математики, объясняющие свойства тел. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос» - обьемный, пространственный).

Ход урока. Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии - на плоскости - не нужно. Ведь если мы говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии предположение излишне: всё происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

План лекции. 1. Аксиома выхода в пространство. 2. Аксиома плоскости. 3. Аксиома пересечения плоскостей. 4. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку. 5. Пересечение прямой и плоскости. 6. Существование плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется ещё одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три. Первая - Аксиома выхода в пространство - придаст «театру геометрических действий» новое третье измерение:

Аксиома 1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. α β

Аксиома 2. Аксиома плоскости: Если две точки лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости. α β

Аксиома пересечения плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая. Аксиома 3. Аксиома пересечения плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая. β α С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что при этом линии сгиба - прямые. Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.

Аксиома 3. Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трёхмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трём указанным также присоединяются планиметрические аксиомы, переосмысленные, подправленные с учётом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями.

Следствие 1. Следствие 1. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. С В А аb α

Дано: ab=А Доказать: (ab)α Доказательство. На прямой а отметим точку В, а на прямой b - С, получим три точки А, В, С, которые не лежат на одной прямой. По аксиоме 1, мы можем провести плоскость и притом только одну.

Следствие 2. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. А а α

Доказательство. Проведём через точки А,В, С - плоскость βа (через две точки проходит единственная прямая) Аα. По аксиоме 1 можно провести плоскость, α - единственная плоскость. Допустим, существует другая плоскость β, проходящая через прямую а и точку А. По аксиоме 3 эти плоскости пересекаются по прямой, а точки А, В, С должны принадлежать этой прямой, но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теореме доказана. Дано: а - прямая; αА Доказать: можно провести плоскость, и притом только одну. С В А а α

Задача. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости. Дано: ab=А; (ab)α; с(а; b)=(M; N) Доказать: с α. Доказательство. Проведём через прямые а и b плоскость α. Прямая с, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью две общие точки М и N (точки пересечения с данными прямыми). По аксиоме 2 эта прямая должна лежать в плоскости α. с N А а b M

Контрольные вопросы. Что такое стереометрия? Сформулируйте основные аксиомы стереометрии. Сформулируйте следствия из аксиом

Домашнее задание § 1; 1;2;3. На главную