Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 28 – 31 августа, 2013 г. Иванова Анна Владимировна Остапенко Владимир Викторович Черевко Александр Александрович Чупахин Александр Павлович МЕЛКАЯ ВОДА НА СФЕРЕ: ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2013»

Физическая постановка задачи Движение сплошной среды (газ, жидкость) на вращающейся притягивающейся сфере (атмосфера планет, Мировой океан). Гравитация и вращение, действуя в различных направлениях, обеспечивают глобальный баланс среды. На этом фоне развиваются движения среды различных масштабов. Перемещение потока, несущего обломки деревьев, домов и т.д., смытые в океан во время цунами в Японии (концентрация примеси) Международный тихоокеанский исследовательский центр при университете штата Гавайи Ученые работали под руководством россиянина Николая Максименко. Используя данные спутниковых наблюдений, а также информацию, полученную от 15 тысяч плавучих датчиков, специалисты попытались предсказать, как будет двигаться поток, несущий обломки деревьев, домов и так далее, смытые в океан во время цунами 11 марта 2011 года. Как показала разработанная авторами модель, первое столкновение потока с Гавайями произойдет через два года, а второе - через пять лет.

Модель мелкой воды Малость параметра мелкой воды Бессдвиговое течение по вертикальной переменной. - число Россби, - число Фруда. Значения для Земли - радиус сферы - характерный вертикальный масштаб - масштаб горизонтальной скорости

Дифференциальные уравнения модели Особенности: Гиперболическая система на компактном многообразии Наличие особенностей в решении (сильные и слабые разрывы) Построение решения в целом – склейка решений в различных областях, частях сферы - полная производная вдоль поверхности сферы, - дополнение до широты, - долгота ; - меридиональная, долготная компоненты скорости. - глубина слоя,

Интегральные законы сохранения Закон сохранения массы – сила Кориолиса, – центробежная сила. Закон сохранения полного импульса Закон сохранения энергии является выпуклым расширением.

Примеры разрывных решений Состояние равновесия Разрывное состояние равновесия В дальнейшем они используются как начальные данные для нестационарных решений

Разностная схема для двумерной задачи Разностная схема, предложенная В.В. Остапенко Закон сохранения массы Закон сохранения импульса

Примеры расчетов Шеврон с углом на экваторе Распад разрыва на сфере Эффекты: 1)Кумуляции для хребтов- шевронов или хребтов- колец. 2) Воспроизведение хребта в противоположной точке сферы ( в ослабленном виде) 3)Воспроизведение хребта в начальной позиции (еще в более ослабленном виде) Экватор Северный полюс Южный полюс Северный полюс Южный полюс Экватор Северный полюс Южный полюс

Линии тока а(t=0)б(t=10) в(t=50) г(t=120)

Примеры расчетов Два шеврона в разных местах Северный полюс Экватор Южный полюс

Линии тока а(t=0)б(t=50) в(t=120)г(t=225)

Примеры расчетов Эллиптическое кольцо Северный полюс Кумуляция происходит в фокусах эллипса Экватор Южный полюс Северный полюс

Линии тока а(t=0) б(t=7) в(t=90)г(t=250) Эти задачи имеют наглядную физическую интерпретацию, водяные хребты в виде шевронов встречаются на снимках со спутников поверхности Земли и других планет (как облаков в атмосфере, так и течений в океане). Хребет в виде эллиптического кольца моделирует распространение волн при падении метеорита или другого крупного объекта в океан.

Зональные течения Помимо состояния равновесия существует класс точных зональных течений, в которых меридиональная скорость, а скорость по параллелям. Течение направлено вдоль параллелей. Существуют решения, сопрягающие состояние равновесия с такими течениями через контактный разрыв. Профиль свободной поверхности жидкости (1) относительно вращающейся сферы (2) в стационарном решении с контактным разрывом при

Примеры расчетов Устойчивость зонального течения относительно периодического возмущения границ Профиль глубины h t=0 t=10 t=200 Долготная компонента скорости V t=0 t=10 t=200

Примеры расчетов Устойчивость зонального течения относительно периодического возмущения границ V – долготная скорость

Струйные течения и шевроны на Юпитере На снимке «Кассини» выделены «шевроны» и антициклон South Equatorial Disturbance (SED). (Здесь и ниже изображения NASA / JPL / Space Science Institute.) Обратите внимание на линию маленьких тёмных V-образных «шевронов», которая сформировалась вдоль одного края течения и мечется то на запад, то на восток. Со временем относительно чёткая линия превращается в волну, и «шевроны» движутся вверх и вниз (то есть на север и юг) точно так же, как на Земле.

Примеры расчетов Шевроны с зональным течением

Вихри в трехмерном виде при t=60

Приведена система законов сохранения массы и полного импульса для уравнений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере. Выполнены численные расчеты задач о распаде разрыва в двумерном случае. 1) Представлены результаты численного моделирования задачи о распаде разрыва в результате обрушения водяных «хребтов» различной геометрии. Основные эффекты при распространении возмущений на сфере: периодическое повторение основных этапов, кумулятивный эффект (фокусировка) возмущений, образованием вихрей различных масштабов, взаимодействие их между собой: рождение и уничтожение. 2) Представлены результаты численного моделирования распространения возмущений на контактном разрыве между состоянием равновесия и зональным течением с возмущением Показана устойчивость зонального течения относительно периодического возмущения границы. Заключение

Литература ЧеревкоА.А., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере// ПМТФ ЧеревкоА.А., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере II. Простые стационарные волны и звуковые характеристики// ПМТФ Остапенко В.В., ЧеревкоА.А., Чупахин А.П., О разрывных решениях уравнений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Изв. РАН. МЖГ С Иванова А.В., Остапенко В.В., Чупахин А.П., Численное моделирование течений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика Т.10, вып. 3. С

Спасибо за внимание!