1.Определение первообразнойОпределение первообразной 2.Основное свойство первообразнойОсновное свойство первообразной 3.Три правила нахождения первообразныхТри правила нахождения первообразных

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F (x) = f(x) F(x) = x 3 /3 есть первообразная для функции f(x)=x 2 на интервале (- ; ), так как F (x) = (x 3 /3) = 1/3(x 3 ) = 1/3*3x 2 = x 2 = f(x) для всех x (- ; ).

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная. Признак постоянства функции Если F (x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.

1.Какое бы число не подставить в формулу С получим первообразную для функции f на промежутке I. 2.Какую бы первообразную F для f на промежутке I не взять, можно подобрать такое чисто С, что для всех значений x из промежутка I выполнится равенство (x) = F(x) + C График двух любых первообразных для функции получается путем параллельного переноса вдоль оси OY.

Функция f k (постоян ная) x n (n Z, n 1) 1 x sin xcos x1 cos 2 x 1 sin 2 x Общий вид первооб разных kx + Cxn + 1 n + 1 2x + C -cos x + Csin x + C tg x + C -ctg x + C + C

Пример 1 f(x) = -x 3, найти F(x) F (x) = -x 4 /4, так как (-x 4 /4) = -x 3 Общий вид первообразной: F(x) = -x 4 /4 + C Пример 2 f(x) = 1/x 2, найти F 0 (x) на (0; ), F(1) = 1 F(x) = -1/x + C -1/1 + C = C = 1 C = 2 F 0 (x) = -1/x + 2

Правило 1 Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g: (F + G) = F + G = f + g Пример f(x) = x 3 + 1/x 2, найти F(x) (x 3 ) = x 4 /4 (1/x 2 ) = -1/x, => F(x) = x 4 /4 - 1/x + C

Правило 2 Если F есть первообразная для f, а k - постоянная, то функция kF – первообразная для kf: (kF) = kF = kf Пример f(x) = 5cosx, найти F(x) (cosx) = sinx, => F(x) = 5sinx + C

Правило 3 Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k 0, то 1/k*F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b): (1/k*F(kx + b) ) = 1/k*F (kx + b) * k = f(kx + b) Пример f(x) = 1/(7 - 3x) 5, найти F(x) (1/x 5 ) = -1/4x 4 F(x) = -1/3 * (-1)/4(7 - 3x) 4 = 1/12(7 - 3x) 4 F(x) = 1/12(7 - 3x) 4 + C